Examen de Matemáticas CCSS de La Rioja 2026 (convocatoria ordinaria)

En un importante evento deportivo, se sabe que el 1 % de los participantes consume algún tipo de sustancia prohibida. Para detectar si este consumo ha tenido lugar o no, se puede hacer una determinada prueba. Dicha prueba detecta falsos positivos en un 2 %, y falsos negativos, en un 6 %. El día del evento, se elige un deportista al azar y se le hace la prueba, se pide: (1 punto)

a) Calcula la probabilidad de que haya consumido algún tipo de sustancia prohibida y la prueba haya dado positiva.
b) Si el deportista ha dado positivo en la prueba, calcula la probabilidad de que haya consumido algún tipo de sustancia prohibida.

Una fábrica de café envasa su producto en paquetes cuyo peso sigue una distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma$. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 paquetes, cuyo peso medio ha sido 500 gramos, y se ha calculado el siguiente intervalo de confianza al 91 % para estimar $\mu$: $(\mathrm{496,6},\mathrm{503,4})$. Se pide: (2 puntos)

a) Calcula el valor de la desviación típica $\sigma$. (1,75 puntos)
b) Con la misma muestra y la misma $\sigma$: si ahora se pretende que el error cometido en la estimación sea a lo sumo de 2,94 gramos, razona si el nivel de confianza ahora sería mayor o menor que 91 %. (0,25 puntos)

Una empresa fabrica dos tipos de herramientas, A y B. Para su elaboración utiliza madera y acero. Para fabricar una herramienta A se necesitan 300 gramos de madera y 100 gramos de acero; en el caso de B, las cantidades requeridas son 100 y 200 gramos respectivamente. Dispone diariamente de un máximo de 3 kilogramos de madera y 2 kilogramos de acero. Estas herramientas le proporcionan un beneficio de 20 euros por unidad de A y de 15 euros por cada una de B. Además, se deben fabricar diariamente al menos 2 herramientas de tipo A y al menos 3 de tipo B. Se pide:

a) Plantea el problema de programación lineal para maximizar el beneficio de la empresa. (0,5 puntos)
b) Representa la región factible S. (0,5 puntos)
c) Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región S. (0,5 puntos)
d) Calcula el número de herramientas de cada tipo que se deben preparar para que el beneficio sea máximo. (0,5 puntos)

Una pareja compra en una tienda especializada tres electrodomésticos: A, B y C, pagando por ellos un total de 1000 euros. Lo que les ha costado A representa el 40 % de lo gastado en C; y, además, la suma total del dinero gastado en la compra de B y de C cuadruplica el pagado por A. Calcula cuánto le ha costado a esta pareja cada uno de los tres electrodomésticos. (2 puntos)

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ a& b\end{array}\right)$, siendo a y b números reales, se pide: (2 puntos)

a) Calcula los valores de a y b para que se verifique la igualdad $A\cdot B=B\cdot A$.
b) Calcula una matriz X que cumpla la igualdad $X\cdot A^4=I$, donde I representa la matriz identidad de orden 2.

Una empresa tecnológica de nueva creación estima que su beneficio (en cientos de euros) durante los 10 primeros meses, desde su apertura, vendrá dado por la función

$f(x)=x^3-15x^2+48x+120,x\in [0,10]$

donde x representa el número de meses transcurridos. Se pide:

a) Calcula el beneficio de la empresa a los 3 meses de su apertura. (0,5 puntos)
b) Calcula los extremos relativos de f. En este período de 10 meses, es decir en el intervalo $[0,10]$, calcula cuál será el beneficio máximo y cuál será el mínimo; determina cuándo se alcanzarán. (1,25 puntos)
c) Considera la función $g(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)$: calcula el área limitada por la gráfica de g, el eje X, la recta $x=0$ y la recta $x=2$. (1,25 puntos)

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{x+a}{(x-1{)}^2}}$, siendo a un número real, se pide:

a) Halla el valor de a para que la gráfica de f pase por el punto $(0,2)$. Para dicho valor de a, calcula el dominio de f, las asíntotas y los puntos de corte de dicha gráfica con los ejes coordenados. (0,75 puntos)
b) Para $a=1$: calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, así como los extremos relativos. (1,25 puntos)
c) Para $a=1$: calcula la integral definida ${\displaystyle {\int }_2^{3}f(x)(x-1{)}^{3}dx}$. Interpreta geométricamente el resultado obtenido. (1 punto)