Examen de Matemáticas CCSS de La Rioja 2023 (convocatoria ordinaria)

Una pequeña empresa ha comprado, para regalar a sus clientes, cien botellas de vino tinto de tres clases y a tres precios distintos: las de vino joven cuestan 4 euros, las de crianza 8 euros y las de reserva 12 euros. Se ha gastado lo mismo en reserva que en las otras dos clases juntas. Además, si hubiera cambiado las botellas de reserva por botellas de crianza y viceversa se habría gastado en total 20 euros más.

i) ¿Cuántas botellas ha comprado de cada clase? (2 puntos)
ii) ¿Cuánto ha gastado en total? (0.5 puntos)

Sean

$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -6& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)\text{y}C=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$

Determina cuáles de las siguientes matrices tienen inversa, y si es el caso calcúlala: (2.5 puntos)

i) $A$
ii) $B$
iii) $C$
iv) $ABC$
v) $BC$

Necesitamos obtener al menos 80 gramos de cobre, 60 de zinc y 60 de níquel, y sabemos hacerlo mediante dos técnicas distintas a partir de objetos desechados fabricados con alpaca. Usaremos la primera técnica durante un tiempo x, y después usaremos la segunda durante un tiempo y.

Con la primera técnica podemos conseguir, en cada hora, 8 g de cobre, 3 g de zinc y 1 g de níquel. Con la segunda técnica obtenemos en una hora 4 g de cobre, 6 g de zinc y 12 g de níquel.

¿Cuánto deben valer x e y para conseguir el objetivo en el menor tiempo posible? (2.5 puntos)

Definimos la función

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+x}{x^2+x-2}}$

en todos los valores reales x en los que la expresión tiene sentido. ¿Cuál es entonces su dominio? (0.25 puntos)

¿Qué asíntotas horizontales y verticales observaremos en la gráfica $y=f(x)$? Indica los límites de f relevantes en cada una. (0.75 puntos)

Dibuja dicha gráfica, señalando en la misma las asíntotas, los cortes con los ejes y también los extremos relativos de f, que debes calcular previamente. (1.5 puntos)

Una función f, definida en el intervalo $[0,2]$, tiene la gráfica siguiente:



i) Expresa por intervalos el valor de $f(x)$. (1.75 puntos)
ii) Calcula los valores x tales que $f(x)=1\mathrm{/}3$. (0.75 puntos)

Sea $f(x)=x^3-3x+2$.

i) Encuentra sus extremos relativos, y evalúa f en dichos puntos. (1 punto)
ii) Halla el área de la región limitada por $y=f(x)$, $y=0$, $x=1$ y $x=-2$, y haz un dibujo de dicha región. (1.5 puntos)

Un bombo de lotería tiene diez bolas, numeradas del 0 al 9. Realizamos dos extracciones consecutivas, sin reemplazar la primera bola. Sean los sucesos

A = «la primera bola es 0»;
B = «la primera bola es 5»;
C = «la segunda bola es mayor que la primera».

Calcula entonces las probabilidades siguientes: (2.5 puntos)

i) $P(A)$
ii) $P(B)$
iii) $P(C)$
iv) $P(A\mid C)$
v) $P(B\mid C)$

La variable X mide la estatura de los (y las) policías de Francia. Sigue una distribución normal con desviación típica 6.5 (en cm), de forma que el 11.507 % de policías de Francia mide más de 183 cm.

i) Calcula la media de la variable X. (1.75 puntos)
ii) Averigua la estatura que es superada por el 88.493 % de policías en Francia. (0.75 puntos)

Llamamos X a la longitud de la cola de un ejemplar adulto de lémur barbado, especie recientemente descrita. Sigue una distribución normal cuya desviación típica tiene una valor asumido de 4.2 cm (por los estudios realizados en variedades similares), y para estimar su media $\mu$ se ha tomado una muestra independiente de 20 lémures. La media muestral resulta ser $\bar{X}=38.6$ cm.

i) Calcula un intervalo en el que situaríamos a $\mu$ con el 95 % de confianza. (1.25 puntos)
ii) Si juzgamos excesivo el error muestral y queremos repetir la estimación con una muestra más numerosa, lo justo para que dicho error sea menor que 1 cm, ¿cuál debería ser el tamaño de dicha muestra? (1.25 puntos)