Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Definimos la función

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+x}{x^2+x-2}}$

en todos los valores reales x en los que la expresión tiene sentido. ¿Cuál es entonces su dominio? (0.25 puntos)

¿Qué asíntotas horizontales y verticales observaremos en la gráfica $y=f(x)$? Indica los límites de f relevantes en cada una. (0.75 puntos)

Dibuja dicha gráfica, señalando en la misma las asíntotas, los cortes con los ejes y también los extremos relativos de f, que debes calcular previamente. (1.5 puntos)

$\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{entonces}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio?}}\mathbf{\text{(0.25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Al ser un cociente de polinomios, el dominio son todos los reales salvo los que anulan el denominador.

$x^2+x-2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}}={\displaystyle \frac{-1\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}$

$\text{Dom }f=\mathbb{R}-\{-2,1\}$



En los dos puntos que quedan fuera del dominio el numerador no se anula —vale 2 en ambos—, luego las dos rectas verticales son asíntotas. Escribiendo el denominador factorizado, $(x+2)(x-1)$, se ve enseguida el signo de cada límite lateral:

${\lim }_{x\to -2^{-}}f(x)={\displaystyle \frac{2}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty };{\lim }_{x\to -2^{+}}f(x)={\displaystyle \frac{2}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\displaystyle \frac{2}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty };{\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\displaystyle \frac{2}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

Las rectas $x=-2$ y $x=1$ son asíntotas verticales.

Numerador y denominador tienen el mismo grado, de modo que el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales:

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2+x}{x^2+x-2}}=1$

La recta $y=1$ es asíntota horizontal, y al haberla no hay oblicua.

$\mathbf{\text{Dibuja}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica,}}\mathbf{\text{se}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{alando}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas,}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cortes}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{tambi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debes}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{previamente.}}\mathbf{\text{(1.5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Conviene reescribir la función separando la parte entera, porque así la derivada sale de un golpe:

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+x-2+2}{x^2+x-2}}=1+{\displaystyle \frac{2}{x^2+x-2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{2(2x+1)}{{(x^2+x-2)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 2x+1=0\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

El denominador es siempre positivo, así que el signo de la derivada es el de $-2(2x+1)$: positiva a la izquierda de $-\frac{1}{2}$ y negativa a la derecha.

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)={\displaystyle \frac{2}{4}}>0;f^{\mathrm{\prime }}(0)=-{\displaystyle \frac{2}{4}}<0$



En $x=-\frac{1}{2}$ la función pasa de crecer a decrecer, luego presenta un máximo relativo:

$f(-{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2}}={\displaystyle \frac{-\frac{1}{4}}{-\frac{9}{4}}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$

Los cortes con los ejes se obtienen anulando cada variable:

$x=0\Rightarrow f(0)={\displaystyle \frac{0}{-2}}=0\Rightarrow (0,0)$

$f(x)=0\Rightarrow x^2+x=0\Rightarrow x(x+1)=0\Rightarrow (0,0)\text{ y }(-1,0)$



El dominio es $\mathbb{R}-\{-2,1\}$, las asíntotas verticales son $x=-2$ y $x=1$, la horizontal es $y=1$, la gráfica corta a los ejes en $(0,0)$ y $(-1,0)$, y el único extremo relativo es el máximo $(-\frac{1}{2},\frac{1}{9})$.