Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2025

Un periódico digital ha publicado una noticia de última hora. El número de personas que han visto la noticia $t$ horas después de su lanzamiento viene modelado por la función:

$N(t)=500000\cdot (1-e^{-\mathrm{0,2}t});t>0$

a) Estudie la monotonía y curvatura de la función $N$. [0,8 puntos]

b) Represente gráficamente la función $N$ y describa su tendencia a lo largo del tiempo. [0,7 puntos]

c) ¿Cuánto tiempo ha debido de pasar para que la noticia haya sido vista por $450000$ personas? [0,5 puntos]

d) La velocidad de difusión de la noticia (número de personas por hora que han visto la publicación) es $N^{\mathrm{\prime }}(t)$. ¿Qué conclusión se obtiene al comparar $N^{\mathrm{\prime }}(t)$ en los instantes $t=1$ y $t=10$? [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{monoton}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{curvatura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{N}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La monotonía la decide el signo de la primera derivada y la curvatura el de la segunda. Derivamos aplicando la regla de la cadena a la exponencial.

$N^{\mathrm{\prime }}(t)=500000\cdot \mathrm{0,2}\cdot e^{-\mathrm{0,2}t}=100000e^{-\mathrm{0,2}t}$

$N^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=100000\cdot (-\mathrm{0,2})e^{-\mathrm{0,2}t}=-20000e^{-\mathrm{0,2}t}$

La función exponencial es siempre positiva, de modo que el signo de cada derivada lo fija su coeficiente:

$e^{-\mathrm{0,2}t}>0\mathrm{\forall }t>0\Rightarrow N^{\mathrm{\prime }}(t)>0\text{ y }{N}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)<0$

Como $N^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ en todo el dominio, la función es creciente en $(0,+\mathrm{\infty })$ y no tiene extremos relativos. Como $N^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)<0$ en todo el dominio, la función es cóncava hacia abajo en $(0,+\mathrm{\infty })$ y no tiene puntos de inflexión.

El número de personas que han visto la noticia crece siempre, pero cada vez más despacio.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{N}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{describa}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{tendencia}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{largo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tiempo.}}\mathbf{\text{[0,7}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Con lo anterior basta para dibujarla: parte de $N(0)=500000\cdot (1-1)=0$, crece sin extremos y con la concavidad hacia abajo. Su tendencia a largo plazo la da el límite en el infinito.

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}N(t)=500000\cdot (1-{\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{e}^{-\mathrm{0,2}t})=500000\cdot (1-0)=500000$

La recta $y=500000$ es una asíntota horizontal a la que la gráfica se acerca por debajo sin llegar a tocarla.



La noticia se difunde muy deprisa en las primeras horas y luego el crecimiento se va frenando: el número de visualizaciones tiende a estabilizarse en 500 000 personas, que es el techo del modelo.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{debido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pasar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{noticia}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{vista}}\mathbf{\text{por}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">450</mn><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mn\; mathvariant="bold">000</mn></mrow>}\mathbf{\text{personas?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Igualamos la función a 450 000 y despejamos $t$ tomando logaritmos neperianos.

$500000(1-e^{-\mathrm{0,2}t})=450000\Rightarrow 1-e^{-\mathrm{0,2}t}=\mathrm{0,9}$

$e^{-\mathrm{0,2}t}=\mathrm{0,1}\Rightarrow -\mathrm{0,2}t=\ln \mathrm{0,1}\Rightarrow t={\displaystyle \frac{-\ln \mathrm{0,1}}{\mathrm{0,2}}}={\displaystyle \frac{\ln 10}{\mathrm{0,2}}}$

$t={\displaystyle \frac{\mathrm{2,302585}}{\mathrm{0,2}}}\approx \mathrm{11,51}\text{ horas}$

Han debido de pasar unas 11,51 horas, es decir, 11 horas y 31 minutos desde el lanzamiento de la noticia.



Evaluamos en los dos instantes la derivada obtenida en el apartado a).

$N^{\mathrm{\prime }}(1)=100000e^{-\mathrm{0,2}}\approx 81873\text{ personas/hora}$

$N^{\mathrm{\prime }}(10)=100000e^{-2}\approx 13534\text{ personas/hora}$

${\displaystyle \frac{N^{\mathrm{\prime }}(1)}{N^{\mathrm{\prime }}(10)}}={\displaystyle \frac{100000e^{-\mathrm{0,2}}}{100000e^{-2}}}=e^{\mathrm{1,8}}\approx \mathrm{6,05}$

Una hora después del lanzamiento la noticia se difunde unas seis veces más deprisa que diez horas después: la velocidad de difusión, aun siendo siempre positiva, decrece con el tiempo, tal y como anunciaba el signo negativo de $N^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)$.