Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2025

A un paciente con diabetes se le monitoriza durante un día completo, suministrándole un medicamento a mediodía para observar su reacción. La función que aproxima la cantidad de glucosa en sangre ($\text{mg/dl}$) del paciente, en cada instante $t$ (horas), es:

$f(t)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{5}{6}}({\displaystyle \frac{t^3}{3}}-12t^2+108t+108)& \text{si }0\le t\le 12\\ t^2-40t+546& \text{si }12<t\le 24\end{array}$

a) Halle en qué periodos de tiempo el nivel de glucosa va aumentando. [0,75 puntos]

b) ¿En qué momentos del día el paciente tiene los niveles más alto y más bajo de glucosa en sangre y a cuánto ascienden? [1 punto]

c) ¿En qué momentos, después del mediodía, el paciente tiene $155\text{ mg/dl}$? [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{periodos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{glucosa}}\mathbf{\text{va}}\mathbf{\text{aumentando.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El nivel de glucosa aumenta donde la derivada de $f$ es positiva, así que derivamos cada rama y estudiamos su signo por separado.

$f^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{5}{6}}(t^2-24t+108)\text{si }0<t<12$

$f^{\mathrm{\prime }}(t)=2t-40\text{si }12<t<24$

Buscamos los puntos críticos de la primera rama:

$t^2-24t+108=0\Rightarrow t={\displaystyle \frac{24\pm \sqrt{576-432}}{2}}={\displaystyle \frac{24\pm 12}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}t=6\\ t=18\end{array}$

La solución $t=18$ se descarta porque no pertenece al intervalo $[0,12]$ en el que actúa esa rama. Los de la segunda rama:

$2t-40=0\Rightarrow t=20$

Estudiamos el signo de la derivada en cada tramo tomando un punto de prueba:

$f^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{5}{6}}(4-48+108)>0,f^{\mathrm{\prime }}(10)={\displaystyle \frac{5}{6}}(100-240+108)<0$

$f^{\mathrm{\prime }}(15)=30-40<0,f^{\mathrm{\prime }}(22)=44-40>0$



El nivel de glucosa aumenta durante las seis primeras horas del día, entre $t=0$ y $t=6$, y vuelve a aumentar desde $t=20$ hasta el final del día, en $t=24$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{momentos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{paciente}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{niveles}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{alto}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{bajo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{glucosa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{sangre}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{ascienden?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se trata de los extremos absolutos de una función continua en el intervalo cerrado $[0,24]$, de modo que hay que comparar el valor de la función en los puntos donde cambia la monotonía y en los extremos del intervalo.

$f(0)={\displaystyle \frac{5}{6}}\cdot 108=90$

$f(6)={\displaystyle \frac{5}{6}}({\displaystyle \frac{216}{3}}-12\cdot 36+108\cdot 6+108)={\displaystyle \frac{5}{6}}\cdot 396=330$

$f(20)={20}^2-40\cdot 20+546=400-800+546=146$

$f(24)={24}^2-40\cdot 24+546=576-960+546=162$

Comparamos los cuatro valores:

$90<146<162<330$

El nivel más alto de glucosa se alcanza a las 6 horas y es de $330\text{ mg/dl}$; el más bajo se alcanza a las 20 horas y es de $146\text{ mg/dl}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{momentos,}}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{mediod}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{paciente}}\mathbf{\text{tiene}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">155</mn><mtext> mg/dl</mtext></mrow>}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Después del mediodía actúa la segunda rama, así que igualamos esa expresión a 155.

$t^2-40t+546=155\Rightarrow t^2-40t+391=0$

$t={\displaystyle \frac{40\pm \sqrt{1600-1564}}{2}}={\displaystyle \frac{40\pm 6}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}t=17\\ t=23\end{array}$

Las dos soluciones pertenecen al intervalo $(12,24]$, así que las dos son válidas: una en el tramo en que la glucosa aún baja y otra en el tramo en que ya ha vuelto a subir.

El paciente tiene $155\text{ mg/dl}$ de glucosa a las 17 horas y a las 23 horas.