Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

Se ha medido el aprendizaje de vocabulario de una lengua extranjera que se obtiene con un nuevo método de enseñanza. El número de palabras aprendidas viene dado por la función $V(t)$, donde $t$ son las horas de ejercitación, y tiene la siguiente expresión:

$V(t)=\{\begin{array}{ll}27t,& \text{si }0\le t<10\\ 300(1-{\displaystyle \frac{1}{t}}),& \text{si }t\ge 10\end{array}$

a) ¿Es continua esta función? ¿Y derivable? Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1,25 puntos]

b) Dibuja la función. [0,5 puntos]

c) Si un estudiante se ejercita cinco horas semanales, ¿cuántas palabras nuevas aprende durante la cuarta semana? ¿Existe un máximo de palabras a retener con este nuevo método? [0,75 puntos]

d) ¿En qué momento supera las 280 palabras? [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Es}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{derivable?}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El dominio de la función es $[0,+\mathrm{\infty })$, porque $t$ mide horas de ejercitación. Cada rama por separado no da problemas: la primera es una recta y la segunda es continua y derivable para $t\mathrm{\ne }0$, valor que no pertenece a su tramo. Todo se decide en el punto de empalme, $t=10$.

${\lim }_{t\to {10}^{-}}V(t)=27\cdot 10=270$

${\lim }_{t\to {10}^{+}}V(t)=300(1-{\displaystyle \frac{1}{10}})=300\cdot {\displaystyle \frac{9}{10}}=270=V(10)$

Los dos límites laterales coinciden con el valor de la función, luego $V$ es continua en $t=10$ y, por tanto, en todo su dominio.

Para la derivabilidad se derivan las dos ramas y se comparan las derivadas laterales.

$V^{\mathrm{\prime }}(t)=27\text{si }0\le t<10$

$V^{\mathrm{\prime }}(t)=300\cdot {\displaystyle \frac{1}{t^2}}={\displaystyle \frac{300}{t^2}}\text{si }t>10$

$V^{\mathrm{\prime }}({10}^{-})=27,V^{\mathrm{\prime }}({10}^{+})={\displaystyle \frac{300}{100}}=3$

Las derivadas laterales son distintas, así que la función no es derivable en $t=10$: en ese punto la gráfica presenta un pico y el ritmo de aprendizaje cae bruscamente de 27 a 3 palabras por hora.

En cuanto al crecimiento, la derivada es positiva en los dos tramos, pues $27>0$ y ${\displaystyle \frac{300}{t^2}}>0$ para todo $t>10$. La función es creciente en todo su dominio: el vocabulario aprendido nunca disminuye, aunque cada vez se avance más despacio.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Dibuja}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Basta un segmento de recta desde el origen hasta el punto $(10,270)$ y, a partir de ahí, la rama de hipérbola que crece acercándose a la asíntota horizontal.

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}300(1-{\displaystyle \frac{1}{t}})=300$



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ejercita}}\mathbf{\text{cinco}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{semanales,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{palabras}}\mathbf{\text{nuevas}}\mathbf{\text{aprende}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuarta}}\mathbf{\text{semana?}}\mathbf{\text{¿Existe}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{palabras}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{retener}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{nuevo}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{todo?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Con cinco horas por semana, al empezar la cuarta semana el estudiante lleva 15 horas de ejercitación y al terminarla, 20. Las palabras aprendidas durante esa semana son la diferencia entre los dos valores de la función, y como ambos superan las 10 horas se usa la segunda rama.

$V(15)=300(1-{\displaystyle \frac{1}{15}})=300\cdot {\displaystyle \frac{14}{15}}=280$

$V(20)=300(1-{\displaystyle \frac{1}{20}})=300\cdot {\displaystyle \frac{19}{20}}=285$

$V(20)-V(15)=285-280=5$

Durante la cuarta semana el estudiante aprende solo 5 palabras nuevas. En cuanto al máximo, el límite calculado en el apartado anterior indica que la función crece siempre pero acercándose a 300 sin llegar a alcanzarlo, de modo que con este método no se pueden retener más de 300 palabras.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{supera}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{280}}\mathbf{\text{palabras?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se resuelve la inecuación en la segunda rama, que es la única que puede alcanzar ese valor, pues la primera termina justo en 270.

$300(1-{\displaystyle \frac{1}{t}})>280\Rightarrow 1-{\displaystyle \frac{1}{t}}>{\displaystyle \frac{14}{15}}$

${\displaystyle \frac{1}{t}}<1-{\displaystyle \frac{14}{15}}={\displaystyle \frac{1}{15}}\Rightarrow t>15$

El estudiante supera las 280 palabras a partir de las 15 horas de ejercitación, es decir, en cuanto pasa de la tercera semana si dedica cinco horas semanales.