Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

Pregunta 2 (3 puntos)

Dada la función $f(x)=x^3\cdot (x-5{)}^2$, se pide:

a) Determine el dominio de $f(x)$. [0,25 puntos]

b) Calcule la función derivada $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ y determine los puntos críticos. [0,75 puntos]

c) Estudie la monotonía de $f(x)$, indicando los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1 punto]

d) Determine el valor o valores de $x$ donde la función tiene un extremo relativo. Calcule el valor de la función en dichos puntos. [0,5 puntos]

e) Calcule ${\displaystyle \int f(x)dx}$. [0,5 puntos]

La función es un producto de dos polinomios y, por tanto, un polinomio: está definida para cualquier número real.

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}$



Se deriva como un producto y después se saca factor común, que es lo que permite leer los puntos críticos de un vistazo.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2(x-5{)}^2+x^3\cdot 2(x-5)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2(x-5)[3(x-5)+2x]=x^2(x-5)(5x-15)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=5x^2(x-3)(x-5)$

Los puntos críticos son las soluciones de $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$.

$5x^2(x-3)(x-5)=0\Rightarrow x=0;x=3;x=5$



Los tres puntos críticos parten la recta real en cuatro tramos. Se hace un estudio de signos de la derivada tomando un valor de prueba en cada uno.

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=5\cdot 1\cdot (-4)\cdot (-6)=120>0$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=5\cdot 1\cdot (-2)\cdot (-4)=40>0$

$f^{\mathrm{\prime }}(4)=5\cdot 16\cdot 1\cdot (-1)=-80<0$

$f^{\mathrm{\prime }}(6)=5\cdot 36\cdot 3\cdot 1=540>0$



El factor $x^2$ es siempre positivo, así que en $x=0$ la derivada se anula pero no cambia de signo.

La función crece en $(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,3)\cup (5,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(3,5)$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{x}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{extremo}}\mathbf{\text{relativo.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{dichos}}\mathbf{\text{puntos.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Hay extremo relativo donde la derivada cambia de signo. Según el estudio anterior, eso ocurre en $x=3$, donde pasa de positiva a negativa, y en $x=5$, donde pasa de negativa a positiva. En $x=0$ no hay extremo.

$f(3)=3^3\cdot (3-5{)}^2=27\cdot 4=108$

$f(5)=5^3\cdot (5-5{)}^2=0$

La función presenta un máximo relativo en el punto $(3,108)$ y un mínimo relativo en el punto $(5,0)$.



Se desarrolla el producto para integrar término a término.

$f(x)=x^3(x-5{)}^2=x^3(x^2-10x+25)=x^5-10x^4+25x^3$

${\displaystyle \int f(x)dx=\int (x^5-10x^4+25x^3)dx}$

${\displaystyle \int f(x)dx={\displaystyle \frac{x^6}{6}}-2x^5+{\displaystyle \frac{25x^4}{4}}+C}$

Derivando el resultado se recupera $f(x)$, lo que confirma el cálculo.