Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

Un médico empieza a hacer divulgación sobre salud en las redes sociales. A medida que publica contenidos relacionados con este tema, observa un aumento en el número de seguidores. En un momento determinado graba un vídeo polémico y pierde un pequeño número de seguidores, pero al cabo de unos días publica otro que tiene mucho éxito y, a partir de entonces, el número de seguidores vuelve a crecer. La función que describe el número de seguidores en función del tiempo $t$, medido en semanas, es $f(t)=10t^3-120t^2+450t+700$, con $t\in [0,10]$.

a) ¿Cuántos seguidores tiene al inicio? ¿Cuántos tiene al cabo de 10 semanas? Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y determine sus extremos locales. Haga un esbozo de la gráfica utilizando la información obtenida. [1,5 puntos]
b) ¿Qué semana publica el vídeo polémico y cuántos seguidores tiene en aquel momento? ¿Qué semana publica el vídeo que tiene mucho éxito? A lo largo de las 10 semanas, ¿en qué momento tiene más seguidores? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{seguidores}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{inicio?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{cabo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{semanas?}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{locales.}}\mathbf{\text{Haga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{esbozo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{utilizando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{informaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{obtenida.}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El número de seguidores al inicio y al final de las diez semanas se obtiene evaluando la función en los extremos del intervalo.

$f(0)=700$

$f(10)=10\cdot 1000-120\cdot 100+450\cdot 10+700=3200$

Para los intervalos de crecimiento y los extremos locales derivamos e igualamos a cero.

$f^{\mathrm{\prime }}(t)=30t^2-240t+450=30(t^2-8t+15)=30(t-3)(t-5)$

$f^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow t=3\text{ o }t=5$

Los dos valores están dentro de $[0,10]$. Como el coeficiente principal de $f^{\mathrm{\prime }}(t)$ es positivo, la parábola de la derivada queda por encima del eje fuera de las raíces y por debajo entre ellas.



La función crece en $(0,3)$, decrece en $(3,5)$ y vuelve a crecer en $(5,10)$, de modo que en $t=3$ hay un máximo local y en $t=5$, un mínimo local.

$f(3)=270-1080+1350+700=1240$

$f(5)=1250-3000+2250+700=1200$



El médico empieza con $700$ seguidores y acaba con $3200$; por el camino tiene un máximo local de $1240$ seguidores en la semana $3$ y un mínimo local de $1200$ en la semana $5$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{semana}}\mathbf{\text{publica}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{deo}}\mathbf{\text{pol}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{mico}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{seguidores}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{aquel}}\mathbf{\text{momento?}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{semana}}\mathbf{\text{publica}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{deo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{mucho}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{xito?}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{largo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{semanas,}}\mathbf{\text{¿en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{seguidores?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El vídeo polémico es el que le hace perder seguidores, así que se publica justo cuando la función deja de crecer y empieza a decrecer, es decir, en el máximo local.

$t=3\Rightarrow f(3)=1240$

El vídeo de mucho éxito es el que hace que el número de seguidores vuelva a subir, o sea, el mínimo local.

$t=5$

Para saber cuándo tiene más seguidores hay que comparar el máximo local con el valor en el extremo derecho del intervalo, porque la función vuelve a crecer después de la semana $5$.

$f(3)=1240<f(10)=3200$

El vídeo polémico se publica en la semana $3$, cuando el médico tiene $1240$ seguidores; el vídeo de éxito, en la semana $5$. El momento con más seguidores no es el máximo local, sino el final del periodo: al cabo de las $10$ semanas, con $3200$ seguidores.