Examen de Matemáticas CCSS de Cataluña 2026 (convocatoria ordinaria)

Un médico empieza a hacer divulgación sobre salud en las redes sociales. A medida que publica contenidos relacionados con este tema, observa un aumento en el número de seguidores. En un momento determinado graba un vídeo polémico y pierde un pequeño número de seguidores, pero al cabo de unos días publica otro que tiene mucho éxito y, a partir de entonces, el número de seguidores vuelve a crecer. La función que describe el número de seguidores en función del tiempo $t$, medido en semanas, es $f(t)=10t^3-120t^2+450t+700$, con $t\in [0,10]$.

a) ¿Cuántos seguidores tiene al inicio? ¿Cuántos tiene al cabo de 10 semanas? Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y determine sus extremos locales. Haga un esbozo de la gráfica utilizando la información obtenida. [1,5 puntos]
b) ¿Qué semana publica el vídeo polémico y cuántos seguidores tiene en aquel momento? ¿Qué semana publica el vídeo que tiene mucho éxito? A lo largo de las 10 semanas, ¿en qué momento tiene más seguidores? [1 punto]

Un agricultor produce diferentes tipos de frutas: fresas, albaricoques y cerezas, que se venden en cajas a precios diferentes. Sabemos que un pedido de 5 cajas de fresas, 3 de albaricoques y 4 de cerezas tiene un coste total de 120 €. Por otra parte, un pedido de 2 cajas de fresas, 1 de albaricoques y 3 de cerezas tiene un coste total de 56 €.

a) Calcule el precio de una caja de fresas y el precio de una caja de albaricoques en función del precio de una caja de cerezas. Con esta información, calcule cuál es el precio de un pedido de 6 cajas de fresas, 4 de albaricoques y 2 de cerezas. [1,5 puntos]
b) Si sabemos que el precio de una caja de albaricoques es de 12,50 €, calcule cuál es el precio de las otras dos cajas de fruta. [1 punto]

Una empresa de telecomunicaciones considera que una página web es eficiente si su tiempo de carga es inferior a 3 segundos. La empresa afirma que al menos el 50 % de las páginas web que gestiona son eficientes. Para comprobar esta afirmación, seleccionamos una muestra aleatoria de $n=2.500$ páginas web gestionadas por esta empresa.

Fórmulas para resolver el ejercicio:
— $Z\sim \text{normal}(0,1)\to P(-\mathrm{1,96}\le Z\le \mathrm{1,96})=\mathrm{0,95}$ y $P(-\mathrm{2,58}\le Z\le \mathrm{2,58})=\mathrm{0,99}$
— Intervalos de confianza con un nivel de confianza $\gamma \in (0,1)$:
· para la proporción (muestras grandes): $[\widehat{p}-z_{\gamma }\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}},\widehat{p}+z_{\gamma }\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}}]$
· para la media (muestras normales con la varianza ${\sigma }^2$ conocida): $[\bar{x}-z_{\gamma }{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\gamma }{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}]$
· para la media (muestras grandes con la varianza ${\sigma }^2$ desconocida): $[\bar{x}-z_{\gamma }{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\gamma }{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}]$

a) Supongamos que, cada vez que seleccionamos una página web para la muestra, esta puede ser eficiente (o no serlo) con una probabilidad $p=\mathrm{0,5}$ y que el hecho de que una página sea eficiente (o no) es independiente del hecho de que el resto de páginas lo sean (o no). Consideremos la variable aleatoria $X$, que cuenta el número de páginas, de entre las 2.500 de la muestra, que son eficientes. ¿Qué distribución tiene la variable $X$? Calcule la probabilidad de que como mucho 1.299 páginas sean eficientes. Para hacerlo, utilice la aproximación por la distribución normal sin hacer la corrección por continuidad. [1,25 puntos]
b) En la muestra de $n=2.500$ páginas web, hemos obtenido una media muestral del tiempo de carga de $\bar{x}=\mathrm{2,95}$ segundos y una desviación típica muestral de $s=\mathrm{0,38}$ segundos. Suponga que el tiempo de carga de las páginas web sigue una distribución normal. Construya un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio de carga de las páginas web que gestiona la empresa. A partir del intervalo obtenido, ¿qué podemos decir sobre la afirmación de la empresa de que al menos el 50 % de las páginas web que gestiona son eficientes? [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{Opci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{A}}$

La tabla siguiente recoge el número de estudiantes de grado (G), máster (M) y doctorado (D) matriculados en las tres facultades —Ciencias (C), Ingeniería (E) y Letras (L)— de una pequeña universidad.

$\mathit{\text{Facultad}}$	$\mathit{\text{Grado}}\mathit{\text{(G)}}$	$\mathit{\text{M}}\acute{\mathit{\text{a}}}\mathit{\text{ster}}\mathit{\text{(M)}}$	$\mathit{\text{Doctorado}}\mathit{\text{(D)}}$	$\mathit{\text{Total}}$ Ciencias (C)	450	172	41	663 Ingeniería (E)	445	178	45	668 Letras (L)	438	183	48	669 Total	1.333	533	134	2.000

a) Si escogemos un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un estudiante de doctorado de la Facultad de Letras? Si escogemos al azar un estudiante que cursa un máster, ¿cuál es la probabilidad de que estudie en la Facultad de Ingeniería? [1,25 puntos]
b) Exprese la información de la tabla (sin los totales) mediante una matriz $3\times 3$ y calcule, utilizando un producto de matrices, el vector con el número total de estudiantes de grado, máster y doctorado de la universidad. Sabemos que los estudiantes de grado pagan 1.000 € de matrícula; los de máster, 1.500 €, y los de doctorado, 500 €. Por medio de un producto de matrices, calcule el importe total que ingresa la universidad en concepto de matrículas. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{Opci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{B}}$

La tabla siguiente recoge el número de estudiantes de grado (G), máster (M) y doctorado (D) matriculados en las tres facultades —Ciencias (C), Ingeniería (E) y Letras (L)— de una pequeña universidad.

$\mathit{\text{Facultad}}$	$\mathit{\text{Grado}}\mathit{\text{(G)}}$	$\mathit{\text{M}}\acute{\mathit{\text{a}}}\mathit{\text{ster}}\mathit{\text{(M)}}$	$\mathit{\text{Doctorado}}\mathit{\text{(D)}}$	$\mathit{\text{Total}}$ Ciencias (C)	450	172	41	663 Ingeniería (E)	445	178	45	668 Letras (L)	438	183	48	669 Total	1.333	533	134	2.000

a) Si escogemos un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un estudiante de máster de la Facultad de Ciencias? Si escogemos al azar un estudiante de la Facultad de Ingeniería, ¿cuál es la probabilidad de que curse un máster? [1,25 puntos]
b) Sabemos que, en total, hay 1.036 estudiantes que disfrutan de una beca. También sabemos que, si consideramos conjuntamente los estudiantes de grado y máster, la mitad están becados, y que hay el mismo número de estudiantes becados de máster que de doctorado. Determine cuántos estudiantes becados hay de cada nivel educativo (grado, máster y doctorado). [1,25 puntos]