Examen de Matemáticas CCSS de Cataluña 2025 (convocatoria extraordinaria)

Un agricultor ha observado que si se plantan 25 perales por hectárea, el rendimiento es de 370 peras por árbol. Además, también ha comprobado que la relación entre el número de peras por árbol y el número de perales por hectárea es lineal, de manera que por cada árbol plantado de más por hectárea, el rendimiento disminuye en 10 peras por peral.

a) Llamamos $x$ al número de perales de más que plantamos, adicionales a los 25 iniciales. Calcule la función de la producción total de peras por hectárea $P(x)$ en función de $x$. [1 punto]
b) ¿Cuál es el número total de perales por hectárea que hay que plantar para obtener el máximo de producción por hectárea? ¿Cuál es esta producción máxima? ¿A partir de cuántos perales por hectárea no se obtiene ninguna producción? [1,5 puntos]

Una marca de zapatos conocida puso a la venta uno de sus modelos más populares y vendió toda la producción en la temporada de verano. El precio de cada par de zapatos era de 90 €, pero algunos se vendieron al precio original, otros con un 20 % de descuento y el resto con un 50 % en la liquidación de final de temporada. En total se produjeron 820.000 pares de zapatos de este modelo, que proporcionaron unos ingresos de 63.837.000 €. Sabemos también que se vendieron el doble de zapatos rebajados al 20 % que al 50 %.

Encuentre cuántos pares de zapatos se vendieron al precio original, cuántos con un 20 % de descuento y cuántos al 50 %. [2,5 puntos]

En un parque natural, los visitantes pueden acceder en coche, en bicicleta o a pie. Una vez dentro del parque, los visitantes pueden hacer una ruta guiada o bien visitarlo por su cuenta.

a) Sabemos que el 60 % de los visitantes acceden en coche, el 15 % en bicicleta y el 25 % restante a pie. También sabemos que de los que llegan en coche el 80 % hacen la ruta guiada, mientras que de los que llegan en bicicleta la hacen el 60 % y de los que llegan a pie solo la hacen el 30 %. Si escogemos un visitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haga la ruta guiada? Si sabemos que ha hecho la ruta guiada, ¿cuál es la probabilidad de que haya accedido al parque en coche? [1,25 puntos]
b) Queremos hacer un estudio del tiempo que pasan de media los visitantes dentro del parque. Hemos preguntado a 100 visitantes cuánto rato han estado dentro del parque y hemos obtenido una media de 231 minutos con una desviación típica de 32 minutos. Construya un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio que pasan los visitantes dentro del parque. [1,25 puntos]

Fórmulas para resolver el ejercicio:
— $Z\sim \text{normal}(0,1)\to P(-\mathrm{1,96}\le Z\le \mathrm{1,96})=\mathrm{0,95}$ y $P(-\mathrm{2,58}\le Z\le \mathrm{2,58})=\mathrm{0,99}$
— Intervalos de confianza con un nivel de confianza $\gamma \in (0,1)$:
· para la proporción (muestras grandes): $[\widehat{p}-z_{\gamma }\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}},\widehat{p}+z_{\gamma }\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}}]$
· para la media (muestras normales con la varianza ${\sigma }^2$ conocida): $[\bar{x}-z_{\gamma }{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\gamma }{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}]$
· para la media (muestras grandes con la varianza ${\sigma }^2$ desconocida): $[\bar{x}-z_{\gamma }{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\gamma }{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}]$

$\mathbf{\text{Opci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{A}}$

Una empresa fabrica coches eléctricos y coches de motor de combustión. La empresa tiene tres líneas de fabricación: $L1$, $L2$ y $L3$. La tabla siguiente muestra el número de vehículos de cada tipo que hay en este momento en cada línea. Por otra parte, sabemos que el precio de venta de los vehículos eléctricos es de 40.000 € y el precio de venta de los vehículos de motor de combustión es de 30.000 €.

$$	$\mathit{\text{Coches}}\mathit{\text{el}}\acute{\mathit{\text{e}}}\mathit{\text{ctricos}}$	$\mathit{\text{Coches}}\mathit{\text{de}}\mathit{\text{motor}}\mathit{\text{de}}\mathit{\text{combusti}}\acute{\mathit{\text{o}}}\mathit{\text{n}}$ $L1$	20	80 $L2$	30	100 $L3$	40	110

El coste medio de mantenimiento y consumo por cada 100 km es de 1 € para los vehículos eléctricos y de 6 € para los de motor de combustión.

El 2 % de la producción de vehículos de motor de combustión sale de la empresa con algún defecto, mientras que solo el 1 % de los vehículos eléctricos sale con alguna tara.

a) Obtenga, mediante un producto de matrices, la matriz que expresa los ingresos por cada línea una vez se hayan vendido todos los coches. Si escogemos al azar uno de los vehículos que hay ahora en la fábrica, ¿cuál es la probabilidad de que sea de motor de combustión si sabemos que ha salido defectuoso? [1,5 puntos]
b) Es más caro comprar un coche eléctrico, pero tiene menos gastos por kilómetros recorridos que uno de combustión. Determine la función que representa el gasto acumulado, entre la compra y los kilómetros recorridos, para cada tipo de vehículo en función del número de kilómetros recorridos, $x$. Si un conductor hace 20.000 km al año, ¿a partir de cuántos años le saldrá más a cuenta el coche eléctrico que el de combustión? [1 punto]

$\mathbf{\text{Opci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{B}}$

Una empresa fabrica coches eléctricos y coches de motor de combustión. La empresa tiene tres líneas de fabricación: $L1$, $L2$ y $L3$. La tabla siguiente muestra el número de vehículos de cada tipo que hay en este momento en cada línea. Por otra parte, sabemos que el precio de venta de los vehículos eléctricos es de 40.000 € y el precio de venta de los vehículos de motor de combustión es de 30.000 €.

$$	$\mathit{\text{Coches}}\mathit{\text{el}}\acute{\mathit{\text{e}}}\mathit{\text{ctricos}}$	$\mathit{\text{Coches}}\mathit{\text{de}}\mathit{\text{motor}}\mathit{\text{de}}\mathit{\text{combusti}}\acute{\mathit{\text{o}}}\mathit{\text{n}}$ $L1$	20	80 $L2$	30	100 $L3$	40	110

El coste medio de mantenimiento y consumo por cada 100 km es de 1 € para los vehículos eléctricos y de 6 € para los de motor de combustión.

El 2 % de la producción de vehículos de motor de combustión sale de la empresa con algún defecto, mientras que solo el 1 % de los vehículos eléctricos sale con alguna tara.

a) Ha habido un error en el recuento de vehículos eléctricos de la $L2$. El valor 30 de la tabla del enunciado es erróneo, pero sabemos que si se vendieran todos los vehículos de la $L2$, los ingresos de esta línea serían de 3.720.000 €. ¿Cuántos coches eléctricos hay realmente en la $L2$? Si escogemos al azar uno de los vehículos que hay ahora en la $L2$, ¿cuál es la probabilidad de que sea de motor eléctrico, si sabemos que ha salido defectuoso? [1,5 puntos]
b) Si sabemos que el gasto acumulado entre la compra y los kilómetros recorridos de un vehículo de combustión es de 36.000 €, ¿cuántos kilómetros ha recorrido? ¿Qué gasto acumulado tendría un vehículo eléctrico que hubiera recorrido este mismo número de kilómetros? [1 punto]