Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

$\mathbf{\text{Opci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{B}}$

Una empresa fabrica coches eléctricos y coches de motor de combustión. La empresa tiene tres líneas de fabricación: $L1$, $L2$ y $L3$. La tabla siguiente muestra el número de vehículos de cada tipo que hay en este momento en cada línea. Por otra parte, sabemos que el precio de venta de los vehículos eléctricos es de 40.000 € y el precio de venta de los vehículos de motor de combustión es de 30.000 €.

$$	$\mathit{\text{Coches}}\mathit{\text{el}}\acute{\mathit{\text{e}}}\mathit{\text{ctricos}}$	$\mathit{\text{Coches}}\mathit{\text{de}}\mathit{\text{motor}}\mathit{\text{de}}\mathit{\text{combusti}}\acute{\mathit{\text{o}}}\mathit{\text{n}}$ $L1$	20	80 $L2$	30	100 $L3$	40	110

El coste medio de mantenimiento y consumo por cada 100 km es de 1 € para los vehículos eléctricos y de 6 € para los de motor de combustión.

El 2 % de la producción de vehículos de motor de combustión sale de la empresa con algún defecto, mientras que solo el 1 % de los vehículos eléctricos sale con alguna tara.

a) Ha habido un error en el recuento de vehículos eléctricos de la $L2$. El valor 30 de la tabla del enunciado es erróneo, pero sabemos que si se vendieran todos los vehículos de la $L2$, los ingresos de esta línea serían de 3.720.000 €. ¿Cuántos coches eléctricos hay realmente en la $L2$? Si escogemos al azar uno de los vehículos que hay ahora en la $L2$, ¿cuál es la probabilidad de que sea de motor eléctrico, si sabemos que ha salido defectuoso? [1,5 puntos]
b) Si sabemos que el gasto acumulado entre la compra y los kilómetros recorridos de un vehículo de combustión es de 36.000 €, ¿cuántos kilómetros ha recorrido? ¿Qué gasto acumulado tendría un vehículo eléctrico que hubiera recorrido este mismo número de kilómetros? [1 punto]

Llamamos $e$ al número real de coches eléctricos de la línea $L2$. Los ingresos de esa línea son los de sus eléctricos más los de sus cien vehículos de combustión.

$40000e+100\cdot 30000=3720000$

$40000e=3720000-3000000=720000\Rightarrow e=18$

En la línea $L2$ hay, pues, $18$ eléctricos y $100$ de combustión, $118$ vehículos en total. Llamamos $E$ al suceso «es eléctrico», $K$ a «es de motor de combustión» y $F$ a «sale defectuoso».

$P(E)={\displaystyle \frac{18}{118}}P(K)={\displaystyle \frac{100}{118}}P(F\mid E)=\mathrm{0,01}P(F\mid K)=\mathrm{0,02}$

$P(F)={\displaystyle \frac{18}{118}}\cdot \mathrm{0,01}+{\displaystyle \frac{100}{118}}\cdot \mathrm{0,02}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,18}+2}{118}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,18}}{118}}$

$P(E\mid F)={\displaystyle \frac{P(E)P(F\mid E)}{P(F)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,18}}{\mathrm{2,18}}}={\displaystyle \frac{9}{109}}\approx \mathrm{0,0826}$

En la línea $L2$ hay realmente $18$ coches eléctricos, y si uno de sus vehículos ha salido defectuoso, la probabilidad de que sea eléctrico es solo de ${\displaystyle \frac{9}{109}}$, un $\mathrm{8,26}\mathrm{\%}$: son muchos menos y además fallan la mitad de veces.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{sabemos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{gasto}}\mathbf{\text{acumulado}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{compra}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{kil}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{recorridos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{combusti}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{36.000}}\mathbf{\text{euros,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{kil}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{recorrido?}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{gasto}}\mathbf{\text{acumulado}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hubiera}}\mathbf{\text{recorrido}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{kil}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{metros?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El gasto acumulado es el precio de compra más el coste por kilómetro; como los costes se dan por cada $100$ km, por kilómetro son $\mathrm{0,06}$ euros el de combustión y $\mathrm{0,01}$ euros el eléctrico.

$G_K(x)=30000+{\displaystyle \frac{6x}{100}}{G}_E(x)=40000+{\displaystyle \frac{x}{100}}$

$30000+\mathrm{0,06}x=36000\Rightarrow \mathrm{0,06}x=6000$

$x={\displaystyle \frac{6000}{\mathrm{0,06}}}=100000\text{ km}$

$G_E(100000)=40000+{\displaystyle \frac{100000}{100}}=40000+1000=41000$

El vehículo de combustión ha recorrido 100 000 km, y un eléctrico con ese mismo kilometraje llevaría acumulado un gasto de 41 000 €, todavía 5 000 € por encima; el eléctrico no compensa hasta los 200 000 km.