Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

En el último año pernoctaron en la ciudad 1500 turistas en hoteles, 2500 en apartamentos y 1000 en autocaravanas. Se decide hacer un estudio sobre el gasto medio de estos turistas, realizando una encuesta entre 400 de ellos.

a) Si atendemos a criterios de proporcionalidad, determine a cuántos turistas habrá que seleccionar en cada grupo (hoteles, apartamentos, autocaravanas). [1 punto]

b) Los turistas de autocaravana tuvieron un gasto medio diario de 40 euros. Considerando la variable gasto con distribución normal y desviación típica 15 euros, calcule un intervalo de confianza al 90 % para el gasto medio de este tipo de turistas. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{atendemos}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{criterios}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{proporcionalidad,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{turistas}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{seleccionar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{grupo}}\mathbf{\text{(hoteles,}}\mathbf{\text{apartamentos,}}\mathbf{\text{autocaravanas).}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se trata de un muestreo estratificado con afijación proporcional: cada estrato aporta a la muestra la misma fracción que representa en la población.

$N=1500+2500+1000=5000\text{ turistas}$

$f={\displaystyle \frac{n}{N}}={\displaystyle \frac{400}{5000}}=\mathrm{0,08}$

$n_{\text{hoteles}}=\mathrm{0,08}\cdot 1500=120$

$n_{\text{apartamentos}}=\mathrm{0,08}\cdot 2500=200$

$n_{\text{autocaravanas}}=\mathrm{0,08}\cdot 1000=80$

Los tres tamaños suman los 400 de la muestra: hay que encuestar a 120 turistas de hotel, 200 de apartamento y 80 de autocaravana.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{turistas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{autocaravana}}\mathbf{\text{tuvieron}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{gasto}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{diario}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{40}}\mathbf{\text{euros.}}\mathbf{\text{Considerando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{variable}}\mathbf{\text{gasto}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{normal}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{euros,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{gasto}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{turistas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La población es normal y se conoce su desviación típica, así que el intervalo de confianza para la media es

$IC=(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

El tamaño de la muestra es el del estrato de autocaravanas obtenido en el apartado anterior, $n=80$. Con $1-\alpha =\mathrm{0,90}$ se tiene $\alpha =\mathrm{0,1}$ y $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{1,645}\cdot {\displaystyle \frac{15}{\sqrt{80}}}=\mathrm{1,645}\cdot \mathrm{1,6771}\approx \mathrm{2,76}\text{ euros}$

$IC=(40-\mathrm{2,76},40+\mathrm{2,76})=(\mathrm{37,24},\mathrm{42,76})$

Con una confianza del 90 %, el gasto medio diario de los turistas de autocaravana está entre $\mathrm{37,24}$ y $\mathrm{42,76}$ euros.