Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Una piscifactoría realiza un estudio de mercado para determinados tipos de pescado (salmones y truchas). Se asume que el precio por kg de estos pescados tiene distribución normal con desviación típica 3 euros. ¿Cuántas pescaderías habrá que visitar como mínimo si se quiere estimar el precio medio mediante un intervalo de confianza, al nivel de confianza del 99 %, cuya longitud no sea superior a 4 euros? Razone la respuesta. [2 puntos]

Se estima la media de una población normal de desviación típica conocida, así que el intervalo de confianza es

$IC=(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Su longitud es el doble del error máximo admisible, de modo que exigir que no pase de 4 euros equivale a exigir que el error no pase de 2 euros.

$\text{Longitud}=2z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\le 4\Rightarrow E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\le 2$

Con un nivel de confianza del 99 % se tiene $1-\alpha =\mathrm{0,99}$, luego $\alpha =\mathrm{0,01}$ y en la tabla de la normal $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,576}$.

$\mathrm{2,576}\cdot {\displaystyle \frac{3}{\sqrt{n}}}\le 2\Rightarrow \sqrt{n}\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{2,576}\cdot 3}{2}}=\mathrm{3,864}$

$n\ge {\mathrm{3,864}}^2=\mathrm{14,930}\dots$

El tamaño de la muestra tiene que ser un número entero, y al aumentar $n$ disminuye el error, así que se toma el primer entero que cumple la desigualdad.



Hay que visitar como mínimo 15 pescaderías: con 14 el intervalo sería más largo de 4 euros y con 15 su longitud es de $2\cdot \mathrm{2,576}\cdot {\displaystyle \frac{3}{\sqrt{15}}}\approx \mathrm{3,99}$ euros.