Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Se consideran dos sucesos $A$ y $B$ tales que

$P(A\cap B)=\mathrm{0,1}P(\bar{A}\cap \bar{B})=\mathrm{0,7}P(A\mid B)=\mathrm{0,4}$

Resuelva las siguientes preguntas:

a) $P(B)$. [0,5 puntos]

b) $P(A\cup B)$. [0,5 puntos]

c) $P(A)$. [0,5 puntos]

d) $P(\bar{A}\mid \bar{B})$. [0,5 puntos]

e) ¿Son independientes los sucesos $A$ y $B$? Justifique la respuesta. [0,5 puntos]

Nota: $\bar{S}$ es el suceso complementario del suceso $S$.

Los datos del enunciado son $P(A\cap B)=\mathrm{0,1}$, $P(\bar{A}\cap \bar{B})=\mathrm{0,7}$ y $P(A\mid B)=\mathrm{0,4}$. Todo el ejercicio consiste en repartir la probabilidad entre las cuatro zonas del diagrama de Venn.





Se despeja de la definición de probabilidad condicionada:

$P(A\mid B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}\Rightarrow P(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A\mid B)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,4}}}=\mathrm{0,25}$



Por las leyes de De Morgan, que ninguno de los dos sucesos ocurra es lo mismo que no ocurrir su unión:

$P(\bar{A}\cap \bar{B})=P\left(\overline{A\cup B}\right)=1-P(A\cup B)$

$P(A\cup B)=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}$



De la probabilidad de la unión:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\Rightarrow P(A)=\mathrm{0,3}+\mathrm{0,1}-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,15}$



$P(\bar{A}\mid \bar{B})={\displaystyle \frac{P(\bar{A}\cap \bar{B})}{P\left(\bar{B}\right)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,7}}{1-\mathrm{0,25}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,7}}{\mathrm{0,75}}}=\mathrm{0,9333}$

$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathbf{\text{independientes}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}$

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades:

$P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,15}\cdot \mathrm{0,25}=\mathrm{0,0375}\mathrm{\ne }\mathrm{0,1}=P(A\cap B)$

No son independientes. Se llega a lo mismo comparando probabilidades condicionadas: $P(\bar{A}\mid \bar{B})=\mathrm{0,9333}$ frente a $P\left(\bar{A}\right)=1-\mathrm{0,15}=\mathrm{0,85}$. Saber que $B$ no ha ocurrido cambia la probabilidad de $A$, luego los sucesos están relacionados.