Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Pregunta 1 (3 puntos)

De los 200 estudiantes de segundo de Bachillerato de un instituto de Molina de Segura, 75 practican taekwondo, 100 hapkido y 50 ambas artes marciales coreanas. Si se elige un alumno al azar, calcule la probabilidad de que:

a) Practique al menos algún arte marcial coreano. [0,25 puntos]

b) Practique únicamente hapkido. [0,5 puntos]

c) No practique ningún arte marcial coreano. [0,5 puntos]

d) Practique solo una de las dos artes marciales coreanas. [0,5 puntos]

e) Si el estudiante seleccionado no practica hapkido, calcule la probabilidad de que practique taekwondo. [0,25 puntos]

El salario bruto mensual (en euros) de los profesores de artes marciales se distribuye según una distribución Normal de media desconocida y desviación típica 450 euros. Se preguntó a 81 profesores de artes marciales elegidos al azar y se estableció que el salario medio oscila entre 1383,5 euros y 1616,5 euros.

f) ¿Cuál ha sido el salario medio de los profesores de la muestra si el nivel de confianza que se ha utilizado en el intervalo anterior es del 98 %? [0,5 puntos]

g) Si se quiere estimar el salario medio poblacional, con un error máximo de 74,5 euros y con un nivel de confianza del 90 %, ¿cuál será el tamaño muestral necesario para determinarlo? [0,5 puntos]

Llamamos $T$ al suceso «practicar taekwondo» y $H$ al suceso «practicar hapkido». Dividiendo entre los $200$ estudiantes del instituto se obtienen las probabilidades de partida.

$P(T)={\displaystyle \frac{75}{200}}=\mathrm{0,375};P(H)={\displaystyle \frac{100}{200}}=\mathrm{0,5};P(T\cap H)={\displaystyle \frac{50}{200}}=\mathrm{0,25}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Practique}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{arte}}\mathbf{\text{marcial}}\mathbf{\text{coreano.}}(\mathrm{0,25}\text{ puntos})$

«Al menos uno» es la unión de los dos sucesos, de modo que se aplica la probabilidad de la unión.

$P(T\cup H)=P(T)+P(H)-P(T\cap H)$

$P(T\cup H)=\mathrm{0,375}+\mathrm{0,5}-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,625}$

La probabilidad de que el estudiante practique algún arte marcial coreano es $\mathrm{0,625}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Practique}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nicamente}}\mathbf{\text{hapkido.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Practicar solo hapkido es la diferencia de sucesos $H\cap \bar{T}$: a los de hapkido se les quitan los que además practican taekwondo.

$P(H\cap \bar{T})=P(H)-P(T\cap H)$

$P(H\cap \bar{T})=\mathrm{0,5}-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,25}$

Un $25\mathrm{\%}$ de los estudiantes, esto es $50$ de los $200$, practica únicamente hapkido.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{No}}\mathbf{\text{practique}}\mathbf{\text{ning}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{arte}}\mathbf{\text{marcial}}\mathbf{\text{coreano.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

No practicar ninguno es el suceso contrario de practicar al menos uno, así que basta restar de la unidad el resultado del apartado a).

$P(\bar{T}\cap \bar{H})=P(\overline{T\cup H})=1-P(T\cup H)$

$P(\bar{T}\cap \bar{H})=1-\mathrm{0,625}=\mathrm{0,375}$

La probabilidad de que no practique ninguna de las dos artes marciales es $\mathrm{0,375}$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Practique}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{artes}}\mathbf{\text{marciales}}\mathbf{\text{coreanas.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Practicar solo una es la unión de las dos zonas exteriores del diagrama, que son incompatibles entre sí. A cada suceso se le quita la intersección, luego esta se descuenta dos veces.

$P(T\cap \bar{H})+P(H\cap \bar{T})=P(T)+P(H)-2P(T\cap H)$

$P(T\cap \bar{H})+P(H\cap \bar{T})=\mathrm{0,375}+\mathrm{0,5}-2\cdot \mathrm{0,25}=\mathrm{0,375}$

La probabilidad de que practique una sola de las dos artes marciales es $\mathrm{0,375}$.

$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{practica}}\mathbf{\text{hapkido,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{practique}}\mathbf{\text{taekwondo.}}(\mathrm{0,25}\text{ puntos})$

Se pide una probabilidad condicionada, con la condición «no practicar hapkido».

$P(T\mid \bar{H})={\displaystyle \frac{P(T\cap \bar{H})}{P(\bar{H})}}$

El numerador es la zona del diagrama en la que solo hay taekwondo y el denominador, el contrario de $H$.

$P(T\cap \bar{H})=P(T)-P(T\cap H)=\mathrm{0,375}-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,125}$

$P(\bar{H})=1-P(H)=1-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,5}$

$P(T\mid \bar{H})={\displaystyle \frac{\mathrm{0,125}}{\mathrm{0,5}}}=\mathrm{0,25}$

Entre los que no practican hapkido, la probabilidad de practicar taekwondo es $\mathrm{0,25}$.



El intervalo de confianza para la media de una normal de desviación típica conocida es simétrico respecto de la media muestral, de manera que esta es su centro.

$(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})=(\mathrm{1383,5};\mathrm{1616,5})$

$\bar{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{1383,5}+\mathrm{1616,5}}{2}}=1500$

Se comprueba que el nivel de confianza del $98\mathrm{\%}$ es coherente con esa amplitud: le corresponde $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,01}$ y, en la tabla de la normal estándar, $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,33}$.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{2,33}\cdot {\displaystyle \frac{450}{\sqrt{81}}}=\mathrm{2,33}\cdot 50=\mathrm{116,5}$

$\bar{x}-E=1500-\mathrm{116,5}=\mathrm{1383,5};\bar{x}+E=1500+\mathrm{116,5}=\mathrm{1616,5}$

El salario medio de los $81$ profesores de la muestra ha sido de $1500$ euros.





Al nivel de confianza del $90\mathrm{\%}$ le corresponde $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,05}$ y un valor crítico $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$. Se impone que el error máximo no pase de $\mathrm{74,5}$ euros y se despeja el tamaño de la muestra.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\le \mathrm{74,5}\Rightarrow \mathrm{1,645}\cdot {\displaystyle \frac{450}{\sqrt{n}}}\le \mathrm{74,5}$

$\sqrt{n}\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{1,645}\cdot 450}{\mathrm{74,5}}}=\mathrm{9,9364}$

$n\ge {\mathrm{9,9364}}^2=\mathrm{98,73}$

Como el tamaño de la muestra es un número entero, se toma el entero inmediatamente superior: hacen falta $99$ profesores.