Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

PREGUNTA 1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. (2 puntos)

CONTEXTO

El peso relativo de la población de Galicia en el conjunto de España ha disminuido en los últimos años y, al mismo tiempo, la comunidad se encuentra inmersa en un proceso de envejecimiento demográfico que afecta al conjunto de Europa. En este contexto, aproximadamente el 26 % de la población residente en la provincia de A Coruña tiene 65 años o más; en Lugo, este porcentaje asciende al 30 %; en Ourense, alcanza el 32 %; y en Pontevedra, se sitúa en el 24 %.

En enero de 2025, la población total de Galicia se situaba en torno a los 2.700.000 habitantes. De este total, la provincia de A Coruña concentraba aproximadamente el 41,5 % de la población residente. Por su parte, la provincia de Lugo representaba cerca del 12 % del conjunto de la población gallega, mientras que la provincia de Ourense agrupaba alrededor del 11,5 %. Finalmente, la provincia de Pontevedra reunía el 35 % restante de la población total de la comunidad autónoma.

Responda estos dos apartados: 1.1. y 1.2.

1.1. Calcule la probabilidad de que una persona residente en Galicia tenga 65 años o más.

1.2. Calcule la probabilidad de que una persona residente en Galicia, sabiendo que no reside en la provincia de Pontevedra, sea residente en la provincia de Ourense.

Conviene ordenar primero los datos del contexto. Se sortea una persona entre toda la población de Galicia, y hay dos características en juego: la provincia en la que reside y si tiene 65 años o más.

Sean $C$, $L$, $O$ y $P$ los sucesos «residir en A Coruña, Lugo, Ourense o Pontevedra», y sea $M$ el suceso «tener 65 años o más». Los porcentajes de población de cada provincia son las probabilidades de los cuatro primeros, y los porcentajes de mayores son probabilidades condicionadas:

Provincia	$P(\text{provincia})$	$P(M\mid \text{provincia})$ A Coruña	0,415	0,26 Lugo	0,120	0,30 Ourense	0,115	0,32 Pontevedra	0,350	0,24

Las cuatro provincias forman un sistema completo de sucesos: son incompatibles dos a dos (nadie reside en dos provincias a la vez) y cubren toda la comunidad. En efecto, sus probabilidades suman la unidad:

$\mathrm{0,415}+\mathrm{0,120}+\mathrm{0,115}+\mathrm{0,350}=1$

$\mathbf{\text{1.1.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{residente}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{Galicia}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{65}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s.}}$

Al haber un sistema completo, se aplica el teorema de la probabilidad total: se recorre cada provincia, se pondera su peso demográfico por su proporción de mayores y se suma.

$P(M)=P(C)P(M\mathrm{\mid }C)+P(L)P(M\mathrm{\mid }L)+P(O)P(M\mathrm{\mid }O)+P(P)P(M\mathrm{\mid }P)$

$P(M)=\mathrm{0,415}\cdot \mathrm{0,26}+\mathrm{0,120}\cdot \mathrm{0,30}+\mathrm{0,115}\cdot \mathrm{0,32}+\mathrm{0,350}\cdot \mathrm{0,24}$

Sumando cada producto por separado:

$P(M)=\mathrm{0,1079}+\mathrm{0,0360}+\mathrm{0,0368}+\mathrm{0,0840}$

$\boxed{{\displaystyle P(M)=\mathrm{0,2647}}}$

Es decir, el $\mathbf{\text{26,47}}\mathbf{\text{\%}}$ de la población gallega tiene 65 años o más. El resultado queda entre el 24 % de Pontevedra y el 32 % de Ourense, como tiene que ser: una media ponderada nunca puede salirse del rango de los valores que promedia. Y queda más cerca del extremo bajo porque las dos provincias más pobladas, A Coruña y Pontevedra, son también las menos envejecidas.

$\mathbf{\text{1.2.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{residente}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{Galicia,}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{reside}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{provincia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Pontevedra,}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{residente}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{provincia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Ourense.}}$

Se pide la probabilidad condicionada $P(O\mid \bar{P})$, donde $\bar{P}$ es el suceso «no residir en Pontevedra». Por definición:

$P(O\mid \bar{P})={\displaystyle \frac{P(O\cap \bar{P})}{P(\bar{P})}}$

El numerador es sencillo: residir en Ourense implica no residir en Pontevedra, porque las provincias son incompatibles. Por tanto la intersección es el propio suceso $O$:

$P(O\cap \bar{P})=P(O)=\mathrm{0,115}$

El denominador es el suceso contrario de residir en Pontevedra:

$P(\bar{P})=1-P(P)=1-\mathrm{0,350}=\mathrm{0,650}$

$P(O\mid \bar{P})={\displaystyle \frac{\mathrm{0,115}}{\mathrm{0,650}}}=\mathrm{0,1769}\dots$

$\boxed{{\displaystyle P(O\mid \bar{P})=\mathrm{0,1769}}}$

La probabilidad es del $\mathbf{\text{17,69}}\mathbf{\text{\%}}$. Se ha pasado del 11,5 % al 17,69 %, y con razón: al descartar Pontevedra se reparten sus habitantes fuera del cálculo y las tres provincias restantes ganan peso relativo. La misma cuenta con las otras dos daría $\mathrm{0,415}\mathrm{/}\mathrm{0,650}=\mathrm{0,6385}$ para A Coruña y $\mathrm{0,120}\mathrm{/}\mathrm{0,650}=\mathrm{0,1846}$ para Lugo, y las tres suman 1, como debe ocurrir dentro del nuevo espacio muestral.