Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Se está realizando un estudio sobre las ventas de mochilas de una marca deportiva en los pequeños establecimientos de una gran ciudad. Esta marca tiene dos tipos de mochilas, unas realizadas con material impermeable, que están indicadas preferentemente para deportes acuáticos, y otras fabricadas en lona no impermeable.

a) Se supone que el precio de las mochilas sigue una distribución normal con desviación típica de $25$ euros. Si se ha seleccionado una muestra de $50$ comercios y se ha obtenido que el precio medio de venta de estas mochilas es de $\mathrm{43,55}$ euros, obtenga un intervalo de confianza al 97,8 % para la media de la distribución. [1,3 puntos]

b) Si se desea saber cuál es la proporción de clientes que prefieren las mochilas realizadas con material impermeable, ¿cuál es el número de comercios necesario para que dicha proporción tenga un error de muestreo inferior al 5 %? Utilice un nivel de confianza del 95 %. Considere el caso más conservador en el que $p=q=\mathrm{0,5}$. [1,2 puntos]

Datos de la tabla de la distribución normal $N(0,1)$: $\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,29})=\mathrm{0,9890}$ y $\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,96})=\mathrm{0,9750}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1,3}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{97,8}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{ciento}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Se conoce la desviación típica de la población, así que la media muestral sigue una distribución normal de la misma media que la población y desviación típica $\sigma \mathrm{/}\sqrt{n}$:

$\bar{X}\sim N(\mu ,{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})=N(\mu ,{\displaystyle \frac{25}{\sqrt{50}}})$

El nivel de confianza fija el valor crítico. Como el área central que se deja dentro es $1-\alpha =\mathrm{0,978}$, en cada cola queda la mitad de lo que sobra:

$\alpha =\mathrm{0,022}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,011}\Rightarrow \mathrm{\Phi }\left(z_{\alpha \mathrm{/}2}\right)=1-\mathrm{0,011}=\mathrm{0,989}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,29}$



Se aplica la fórmula del intervalo de confianza para la media:

$IC=(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

$z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{2,29}\cdot {\displaystyle \frac{25}{\sqrt{50}}}=\mathrm{2,29}\cdot \mathrm{3,5355}=\mathrm{8,096}$

$IC=(\mathrm{43,55}-\mathrm{8,096},\mathrm{43,55}+\mathrm{8,096})=(\mathrm{35,454};\mathrm{51,646})$

Con una confianza del 97,8 por ciento, el precio medio de las mochilas en los comercios de la ciudad está entre $\mathrm{35,454}$ y $\mathrm{51,646}$ euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1,2}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{comercios}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{muestreo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{ciento}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{ciento.}}$

Ahora se estima una proporción, y el error máximo admisible tiene esta forma:

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{pq}{n}}}$

El nuevo nivel de confianza da otro valor crítico:

$1-\alpha =\mathrm{0,95}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,025}\Rightarrow \mathrm{\Phi }\left(z_{\alpha \mathrm{/}2}\right)=\mathrm{0,975}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$

Se despeja el tamaño muestral y se impone que el error no pase de $\mathrm{0,05}$. Se toma el caso más desfavorable, $p=q=\mathrm{0,5}$, que es el que hace mayor el producto $pq$ y, por tanto, el que exige más muestra:

$n\ge {\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}^{2}pq}{E^2}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{1,96}}^2\cdot \mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,5}}{{\mathrm{0,05}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,9604}}{\mathrm{0,0025}}}=\mathrm{384,16}$

Como el número de comercios tiene que ser entero y la desigualdad es «mayor o igual», se redondea siempre hacia arriba: hacen falta al menos $385$ comercios.