Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una marca de zapatos conocida puso a la venta uno de sus modelos más populares y vendió toda la producción en la temporada de verano. El precio de cada par de zapatos era de 90 €, pero algunos se vendieron al precio original, otros con un 20 % de descuento y el resto con un 50 % en la liquidación de final de temporada. En total se produjeron 820.000 pares de zapatos de este modelo, que proporcionaron unos ingresos de 63.837.000 €. Sabemos también que se vendieron el doble de zapatos rebajados al 20 % que al 50 %.

Encuentre cuántos pares de zapatos se vendieron al precio original, cuántos con un 20 % de descuento y cuántos al 50 %. [2,5 puntos]

$\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{pares}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{zapatos}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{vendieron}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{original,}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{20\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{descuento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{50\%.}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $x$, $y$ y $z$ al número de pares vendidos al precio original, con el $20\mathrm{\%}$ de descuento y con el $50\mathrm{\%}$, respectivamente. Los precios de venta de cada grupo son

$9090\cdot \mathrm{0,80}=7290\cdot \mathrm{0,50}=45$

y los tres datos del enunciado (producción total, ingresos y relación entre rebajados) dan un sistema de tres ecuaciones.

$\begin{array}{r}x+y+z=820000\\ 90x+72y+45z=63837000\\ y=2z\end{array}\}$

Sustituimos la tercera ecuación en la primera y despejamos $x$:

$x+2z+z=820000\Rightarrow x=820000-3z$

y llevamos las dos expresiones a la ecuación de los ingresos:

$90(820000-3z)+72\cdot 2z+45z=63837000$

$73800000-270z+144z+45z=63837000$

$-81z=-9963000\Rightarrow z=123000$

$y=2\cdot 123000=246000x=820000-369000=451000$

Comprobamos los ingresos: $451000\cdot 90+246000\cdot 72+123000\cdot 45=40590000+17712000+5535000=63837000$.

Se vendieron $451000$ pares al precio original, $246000$ con un $20\mathrm{\%}$ de descuento y $123000$ al $50\mathrm{\%}$.