Examen de Matemáticas CCSS de Cataluña 2025 (convocatoria ordinaria)

Queremos alojar a 10 personas en un hotel que tiene habitaciones individuales, dobles y triples. Sabemos que si reservamos seis habitaciones individuales y dos dobles, tenemos que pagar 702 €, y si reservamos una individual y tres triples, tenemos que pagar lo mismo que si reservamos dos dobles y dos triples.

a) Determine los precios de la habitación doble y de la triple en función del precio de la individual. [1,25 puntos]
b) Si el precio de la habitación triple es el doble del precio de la individual, ¿cuál es el precio de cada tipo de habitación? De las tres opciones planteadas para alojar a las 10 personas, ¿con cuál obtenemos el precio más bajo y cuál es este precio? [1,25 puntos]

Un inversor tiene un dinero invertido en un fondo de inversión muy volátil. El valor de su inversión en euros durante un día determinado viene dado por la función

$f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{35x^2}{2}}+300x+250,$

donde $x\in [0,24]$ representa el tiempo en horas.

a) Calcule el valor inicial de la inversión al empezar el día y determine qué beneficio o pérdida habrá tenido al cabo de 24 horas. Encuentre también a qué hora del día el valor de la inversión ha sido máximo y cuál era este valor máximo. [1,5 puntos]
b) ¿Hay algún momento del día en que el valor de la inversión sea negativo? ¿Cuál es el valor mínimo que alcanza? [1 punto]

Hace unos años una granja de vacas frisonas dedicada a la producción de leche hizo un estudio sobre el peso de sus vacas y llegó a la conclusión de que esta variable seguía una distribución normal con una media de 580 kg y una desviación típica de 25 kg.

Fórmulas para resolver el ejercicio:
— $Z\sim \text{normal}(0,1)\to P(-\mathrm{1,96}\le Z\le \mathrm{1,96})=\mathrm{0,95}$ y $P(-\mathrm{2,58}\le Z\le \mathrm{2,58})=\mathrm{0,99}$
— Intervalos de confianza con un nivel de confianza $\gamma \in (0,1)$:
· para la proporción (muestras grandes): $[\widehat{p}-z_{\gamma }\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}},\widehat{p}+z_{\gamma }\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}}]$
· para la media (muestras normales con la varianza ${\sigma }^2$ conocida): $[\bar{x}-z_{\gamma }{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\gamma }{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}]$
· para la media (muestras grandes con la varianza ${\sigma }^2$ desconocida): $[\bar{x}-z_{\gamma }{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\gamma }{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}]$

a) Calcule, de manera razonada, la probabilidad de que si cogemos al azar una vaca frisona de esta granja, su peso esté entre 531 y 629 kg. [1 punto]
b) Creemos que un cambio en el tipo de forraje que se da a las vacas ha modificado la media del peso. Para comprobarlo, hemos obtenido el peso de una muestra de 10 vacas de la granja escogidas al azar: 569, 575, 611, 581, 583, 614, 589, 555, 566, 571. Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la media del peso de las vacas, suponiendo que este peso sigue una distribución normal con una desviación típica de 25 kg. A partir del resultado obtenido, ¿podemos afirmar que la media del peso de las vacas ha cambiado? Justifique la respuesta. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{Opci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{A}}$

En el Congreso Catalán de Educación Matemática (C2EM), que se celebrará en Lérida el próximo mes de julio, asistirán docentes de universidad, de educación secundaria y de educación infantil y primaria.

Hoy por hoy, un 10 % de los docentes inscritos son de universidad, un 50 % son de secundaria y el resto son de infantil y primaria. Por otra parte, un 40 % de los docentes inscritos de universidad, un 52 % de los docentes inscritos de secundaria y un 65 % de los docentes inscritos de infantil y primaria son mujeres.

a) Calcule la probabilidad de que una persona escogida al azar de entre todos los inscritos sea una mujer. Si de entre todas las mujeres inscritas escogemos una al azar, ¿qué probabilidad hay de que sea docente de secundaria? [1,25 puntos]
b) Calcule el número de docentes que se han inscrito en el Congreso de cada nivel educativo si sabemos que en total hay 476 mujeres inscritas. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{Opci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{B}}$

En el Congreso Catalán de Educación Matemática (C2EM), que se celebrará en Lérida el próximo mes de julio, asistirán docentes de universidad, de educación secundaria y de educación infantil y primaria.

Hoy por hoy, un 10 % de los docentes inscritos son de universidad, un 50 % son de secundaria y el resto son de infantil y primaria. Por otra parte, un 40 % de los docentes inscritos de universidad, un 52 % de los docentes inscritos de secundaria y un 65 % de los docentes inscritos de infantil y primaria son mujeres.

a) La organización del Congreso quiere dar un detalle diferente a cada grupo de docentes: el detalle de tipo $D1$ para el grupo de docentes universitarios, el detalle de tipo $D2$ para el grupo de docentes de secundaria y el detalle de tipo $D3$ para el grupo de docentes de infantil y primaria. Han pedido presupuesto a tres empresas diferentes, que llamaremos $E1$, $E2$ y $E3$. La matriz siguiente nos da los precios unitarios, en euros, de cada detalle de tipo $D1$, $D2$ y $D3$ (filas) según las empresas $E1$, $E2$ y $E3$ (columnas): $\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1,25}& 1& \mathrm{1,25}\\ \mathrm{0,75}& 1& \mathrm{1,15}\\ 1& \mathrm{0,85}& \mathrm{0,80}\end{array}\right)$. El pedido de la organización se puede representar como un vector fila $(x,y,z)$, donde $x$ representa la cantidad de detalles de tipo $D1$, $y$ es la cantidad de detalles de tipo $D2$ y $z$ corresponde a la cantidad de detalles de tipo $D3$ que hay que comprar. La organización trabaja con la previsión de que al Congreso asistirán 1.000 personas en total y que los porcentajes de cada grupo de docentes respecto al total serán los mismos que los que hay en este momento de la inscripción. Calcule, mediante un producto de matrices, qué empresa ofrece el mejor precio y cuál es este precio. [1,25 puntos]
b) Un hotel situado cerca del espacio donde se celebrará el Congreso ha hecho un estudio de mercado. Inicialmente se planteaban ofrecer la habitación doble a un precio de 80 € la noche y con este precio estimaban que tendrían 100 reservas de habitaciones dobles. Pero el estudio muestra que la relación entre el precio de la habitación doble y el número de reservas es lineal, de manera que por cada euro de descuento sobre el precio de la habitación consiguen dos reservas más. Si llamamos $x$ al número de veces que se aplica el descuento de un euro, escriba la función que da los ingresos del hotel en función de $x$. ¿Cuál debe ser el precio de la habitación doble para maximizar los ingresos? [1,25 puntos]