Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Queremos alojar a 10 personas en un hotel que tiene habitaciones individuales, dobles y triples. Sabemos que si reservamos seis habitaciones individuales y dos dobles, tenemos que pagar 702 €, y si reservamos una individual y tres triples, tenemos que pagar lo mismo que si reservamos dos dobles y dos triples.

a) Determine los precios de la habitación doble y de la triple en función del precio de la individual. [1,25 puntos]
b) Si el precio de la habitación triple es el doble del precio de la individual, ¿cuál es el precio de cada tipo de habitación? De las tres opciones planteadas para alojar a las 10 personas, ¿con cuál obtenemos el precio más bajo y cuál es este precio? [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{precios}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{habitaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{doble}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{triple}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{individual.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $I$, $D$ y $T$ al precio, en euros, de la habitación individual, doble y triple. El enunciado da dos condiciones: el importe de la primera reserva y la igualdad entre las otras dos.

$\begin{array}{r}6I+2D=702\\ I+3T=2D+2T\end{array}\}$

La segunda ecuación se simplifica restando $2T$ en los dos lados:

$I+T=2D$

Como hay dos ecuaciones y tres incógnitas, el sistema es compatible indeterminado y se resuelve dejando $I$ como parámetro, que es lo que pide el apartado. De la primera ecuación:

$2D=702-6I\Rightarrow D=351-3I$

y sustituyendo en la segunda:

$T=2D-I=2(351-3I)-I=702-7I$

El precio de la habitación doble es $D=351-3I$ euros y el de la triple, $T=702-7I$ euros, donde $I$ es el precio de la individual.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{habitaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{triple}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{doble}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{individual,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{habitaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{opciones}}\mathbf{\text{planteadas}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{alojar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{personas,}}\mathbf{\text{¿con}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{obtenemos}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{bajo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{precio?}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Añadimos la condición nueva a la expresión de $T$ del apartado anterior.

$T=2I\Rightarrow 702-7I=2I\Rightarrow 9I=702\Rightarrow I=78$

$D=351-3\cdot 78=117T=702-7\cdot 78=156$

Las tres opciones del enunciado alojan exactamente a diez personas cada una: seis individuales y dos dobles $(6+4=10)$, una individual y tres triples $(1+9=10)$, y dos dobles y dos triples $(4+6=10)$. Calculamos el importe de cada una.

$6I+2D=6\cdot 78+2\cdot 117=468+234=702$

$I+3T=78+3\cdot 156=78+468=546$

$2D+2T=2\cdot 117+2\cdot 156=234+312=546$

Las dos últimas cuestan lo mismo, como ya adelantaba el enunciado, y las dos son más baratas que la primera.

La habitación individual cuesta 78 €, la doble 117 € y la triple 156 €. El precio más bajo para alojar a las diez personas es 546 €, y se consigue tanto con una individual y tres triples como con dos dobles y dos triples.