Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Sea la función $f(t)={\displaystyle \frac{12t-24}{t+3}}$; $t\ge 0$.

a) Represente gráficamente la función $f$, determinando los puntos de corte con los ejes coordenados y las ecuaciones de las asíntotas, y estudiando la monotonía y la curvatura de $f$. [1,5 puntos]

b) Si la función $f$ representa los beneficios de una empresa, en millones de euros, donde $t$ indica los años de vida de la empresa:

b-1) ¿A partir de qué año la empresa deja de tener pérdidas? Justifique la respuesta. [0,5 puntos]

b-2) A medida que pasan los años, ¿están limitados los beneficios? En caso afirmativo, ¿cuál es su límite y por qué? [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{f}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{determinando}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{coordenados}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{estudiando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{monoton}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{curvatura}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Recorremos el guion habitual: cortes, asíntotas, monotonía y curvatura. El dominio es $[0,+\mathrm{\infty })$, porque así lo impone el enunciado, y el único valor que anula el denominador, $t=-3$, queda fuera de él.

Cortes con los ejes:

$f(0)={\displaystyle \frac{12\cdot 0-24}{0+3}}={\displaystyle \frac{-24}{3}}=-8\Rightarrow (0,-8)$

$f(t)=0\Rightarrow 12t-24=0\Rightarrow t=2\Rightarrow (2,0)$

Asíntotas. La recta $t=-3$ sería asíntota vertical de la expresión algebraica, pero no lo es de la función del problema porque $-3$ no pertenece al dominio. Para la horizontal calculamos el límite en el infinito, cociente de dos polinomios del mismo grado:

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{12t-24}{t+3}}={\displaystyle \frac{12}{1}}=12$

La recta $y=12$ es asíntota horizontal.

Monotonía. Derivamos aplicando la regla del cociente:

$f^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{12(t+3)-(12t-24)\cdot 1}{(t+3{)}^2}}={\displaystyle \frac{12t+36-12t+24}{(t+3{)}^2}}={\displaystyle \frac{60}{(t+3{)}^2}}$

El numerador es positivo y el denominador un cuadrado, luego $f^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ en todo el dominio: la función es creciente en $[0,+\mathrm{\infty })$ y no tiene extremos relativos.

Curvatura. Derivamos otra vez:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=60\cdot {\displaystyle \frac{-2(t+3)}{(t+3{)}^4}}={\displaystyle \frac{-120}{(t+3{)}^3}}$

Para $t\ge 0$ el denominador es positivo, así que $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)<0$: la función es cóncava hacia abajo en todo el dominio y no tiene puntos de inflexión.



$\mathbf{\text{b-1)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{deja}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdidas?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Hay pérdidas mientras el beneficio es negativo, es decir, mientras $f(t)<0$. Como el denominador es positivo en todo el dominio, el signo lo fija el numerador.

$f(t)<0\iff 12t-24<0\iff t<2$

Además la función es creciente, así que una vez que el beneficio se hace positivo ya no vuelve a ser negativo.

La empresa deja de tener pérdidas a partir del segundo año de vida: en $t=2$ el beneficio es nulo y desde ese momento es positivo y creciente.

$\mathbf{\text{b-2)}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{medida}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasan}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os,}}\mathbf{\text{¿est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{limitados}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{beneficios?}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La respuesta la da la asíntota horizontal calculada en el apartado a).

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}f(t)=12$

Como la función es creciente y se acerca a 12 sin alcanzarlo, sus valores nunca llegan a esa cota.

Sí, los beneficios están limitados: por mucho que pase el tiempo no llegan a alcanzar los 12 millones de euros, que es el valor de la asíntota horizontal $y=12$.