Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

La altura media en España se ha incrementado en los últimos 200 años por factores como la alimentación y la salud. Hace 200 años, la altura media en España era de 157 cm. Actualmente es de 169 cm. Aproximaremos la altura media en España con la función $f(t)$, en cm, siguiente:

$f(t)=169+t\cdot m,$

donde $m$ es una constante desconocida y $t$ es la variable que indica los años que han pasado desde hoy en día. Es decir, $f(0)$ representa la altura media hoy en día, y $f(-200)$ representa la altura media hace 200 años.

a) Calcule el valor del parámetro $m$. [1 punto]

b) Según nuestra función $f(t)$, ¿cuál será la altura media de aquí a 50 años? [1 punto]

c) Calcule $f^{\mathrm{\prime }}(0)$. ¿Qué representa este valor? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El enunciado dice que $t$ cuenta los años transcurridos desde hoy, de manera que hace 200 años corresponde a $t=-200$, y que en ese momento la altura media era de 157 cm. Se impone esa condición sobre la función.

$f(-200)=157\Rightarrow 169+(-200)\cdot m=157$

$-200m=157-169=-12$

$m={\displaystyle \frac{-12}{-200}}=\mathrm{0,06}$

El parámetro vale $m=\mathrm{0,06}$ centímetros por año, y la función queda $f(t)=169+\mathrm{0,06}t$.



Dentro de 50 años corresponde a $t=50$, así que basta sustituir en la función del apartado anterior.

$f(50)=169+\mathrm{0,06}\cdot 50=169+3$

$f(50)=172\text{ cm}$

Según este modelo, dentro de 50 años la altura media en España será de 172 cm.



La función es afín, de modo que su derivada es constante e igual a la pendiente de la recta.

$f^{\mathrm{\prime }}(t)=\mathrm{0,06}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(0)=\mathrm{0,06}$

La derivada en un punto es la tasa de variación instantánea de la función, así que $f^{\mathrm{\prime }}(0)=\mathrm{0,06}$ representa la velocidad a la que crece hoy la altura media: 0,06 cm por año, esto es, 6 cm cada siglo.

Al ser el modelo una recta, ese ritmo es el mismo en cualquier instante, y coincide con la variación media observada: los 12 cm ganados en los últimos 200 años repartidos año a año.