Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

Considere la función $f(x)=\ln (2x)$, para $x\in (0,+\mathrm{\infty })$.

a) Haga una gráfica esquemática de la función $f(x)$. Calcule o justifique, e indique sobre la gráfica, el valor de la función en los extremos del dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos y absolutos. [2 puntos]

b) Sobre la misma gráfica, trace la recta tangente a la función en el punto $x=1$. ¿Cuál es el valor de su pendiente? [1 punto]

El dominio que fija el enunciado es $(0,+\mathrm{\infty })$, que es donde el argumento del logaritmo es positivo. Ninguno de los dos extremos pertenece al dominio, así que en los dos hay que calcular un límite.

${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln (2x)=-\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\ln (2x)=+\mathrm{\infty }$

El primero indica que la recta $x=0$, es decir, el eje de ordenadas, es una asíntota vertical de la curva.

Calculamos también el corte con el eje de abscisas, que sitúa la gráfica.

$\ln (2x)=0\Rightarrow 2x=e^0=1\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Para la monotonía se deriva la función y se estudia el signo de la derivada.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2}{2x}}={\displaystyle \frac{1}{x}}$

En todo el dominio $x$ es positivo, de modo que la derivada también lo es y no se anula nunca.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}>0\text{para todo }x>0$

La función es estrictamente creciente en $(0,+\mathrm{\infty })$ y no decrece en ningún tramo. Al no anularse la derivada, no hay máximos ni mínimos relativos, y al no pertenecer al dominio los extremos del intervalo tampoco hay extremos absolutos: la función no está acotada ni por arriba ni por abajo.





La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada en ese punto, de manera que se sustituye en la derivada del apartado anterior.

$m=f^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{1}{1}}=1$

El punto de tangencia se obtiene sustituyendo en la función.

$f(1)=\ln (2\cdot 1)=\ln 2\approx \mathrm{0,6931}\Rightarrow (1,\ln 2)$

Con el punto y la pendiente se escribe la ecuación punto-pendiente de la recta.

$y-\ln 2=1\cdot (x-1)\Rightarrow y=x-1+\ln 2$

La recta tangente a la curva en $x=1$ tiene pendiente 1, así que forma un ángulo de 45° con el eje de abscisas. Es el punto en el que la gráfica del logaritmo crece exactamente al mismo ritmo que la bisectriz; a partir de ahí lo hace cada vez más despacio.