Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Consideramos la función f dada (en los valores reales x donde la expresión tiene sentido) por

$f(x)={\displaystyle \frac{3x-2}{x-1}}\mathrm{.}$

i) ¿Cuál es el dominio de dicha función? (0.3 puntos)
ii) Calcula la derivada $f^{\mathrm{\prime }}(x)$. ¿En qué puntos x es $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-1$? ¿En cuáles es $f^{\mathrm{\prime }}(x)=1$? ¿Tiene f extremos relativos? (1.1 puntos)
iii) Dibuja la gráfica de f, señalando los cortes con los ejes y las asíntotas horizontales y verticales. (1.1 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{(0.3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Al ser un cociente, el dominio son todos los reales salvo el que anula el denominador.

$x-1=0\Rightarrow x=1\Rightarrow \text{Dom }f=\mathbb{R}-\{1\}$



Se aplica la regla del cociente.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{3(x-1)-(3x-2)}{(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{3x-3-3x+2}{(x-1{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-1}{(x-1{)}^2}}$

Se resuelve la primera ecuación:

${\displaystyle \frac{-1}{(x-1{)}^2}}=-1\Rightarrow (x-1{)}^2=1\Rightarrow x-1=\pm 1\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=2\\ x=0\end{array}$

Para la segunda:

${\displaystyle \frac{-1}{(x-1{)}^2}}=1\Rightarrow (x-1{)}^2=-1$

Un cuadrado nunca es negativo, así que esta ecuación no tiene solución real. No hay ningún punto en el que la derivada valga 1.

Lo mismo ocurre con los extremos relativos: el numerador de la derivada es la constante $-1$ y nunca se anula, de modo que no hay puntos críticos. De hecho la derivada es negativa en todo el dominio, y la función es estrictamente decreciente en cada una de sus dos ramas.

La derivada vale $-1$ en $x=0$ y en $x=2$; no vale 1 en ningún punto; y la función no tiene extremos relativos.

$\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{Dibuja}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f,}}\mathbf{\text{se}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{alando}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cortes}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{horizontales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{verticales.}}\mathbf{\text{(1.1}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Conviene reescribir la función separando la parte entera, porque así las asíntotas se leen de un vistazo:

$f(x)={\displaystyle \frac{3x-3+1}{x-1}}=3+{\displaystyle \frac{1}{x-1}}$

En $x=1$ el numerador vale $1\mathrm{\ne }0$ y el denominador se anula:

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=3+{\displaystyle \frac{1}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty };{\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=3+{\displaystyle \frac{1}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

La recta $x=1$ es asíntota vertical. En el infinito el sumando $\frac{1}{x-1}$ se anula:

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}f(x)=3$

La recta $y=3$ es asíntota horizontal, y al haberla no hay oblicua.

Los cortes con los ejes:

$x=0\Rightarrow f(0)={\displaystyle \frac{-2}{-1}}=2\Rightarrow (0,2)$

$f(x)=0\Rightarrow 3x-2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{2}{3}}\Rightarrow ({\displaystyle \frac{2}{3}},0)$



La gráfica es una hipérbola con centro en $(1,3)$: la rama izquierda baja desde $y=3$ hasta $-\mathrm{\infty }$ y la derecha desciende desde $+\mathrm{\infty }$ hasta $y=3$, cortando a los ejes en $(0,2)$ y $(\frac{2}{3},0)$.