Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una pequeña empresa ha comprado, para regalar a sus clientes, cien botellas de vino tinto de tres clases y a tres precios distintos: las de vino joven cuestan 4 euros, las de crianza 8 euros y las de reserva 12 euros. Se ha gastado lo mismo en reserva que en las otras dos clases juntas. Además, si hubiera cambiado las botellas de reserva por botellas de crianza y viceversa se habría gastado en total 20 euros más.

i) ¿Cuántas botellas ha comprado de cada clase? (2 puntos)
ii) ¿Cuánto ha gastado en total? (0.5 puntos)

Se llama $x$ al número de botellas de vino joven, $y$ al de crianza y $z$ al de reserva.

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{botellas}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{comprado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{clase?}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se traduce a ecuaciones cada condición del enunciado.

Se compran cien botellas en total:

$x+y+z=100$

Se ha gastado lo mismo en reserva que en las otras dos clases juntas:

$12z=4x+8y$

Al intercambiar las botellas de reserva por las de crianza el gasto sube 20 euros. El gasto original es $4x+8y+12z$ y el nuevo, $4x+8z+12y$:

$4x+8z+12y=4x+8y+12z+20$

$4y-4z=20\Rightarrow y-z=5\Rightarrow y=z+5$

Se sustituye en la primera ecuación para dejar todo en función de $z$:

$x=100-y-z=100-(z+5)-z=95-2z$

Y ahora en la segunda:

$12z=4(95-2z)+8(z+5)$

$12z=380-8z+8z+40=420$

$z={\displaystyle \frac{420}{12}}=35$

$y=35+5=40;x=95-70=25$

Se comprueban las tres condiciones: $25+40+35=100$; $12\cdot 35=420=4\cdot 25+8\cdot 40$; y al intercambiar, $100+280+480=860$, que son 20 euros más que 840.

La empresa ha comprado 25 botellas de vino joven, 40 de crianza y 35 de reserva.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{gastado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{total?}}\mathbf{\text{(0.5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Basta sumar lo gastado en cada clase.

$G=4\cdot 25+8\cdot 40+12\cdot 35$

$G=100+320+420=840$

El gasto total ha sido de 840 euros, de los cuales la mitad —420 euros— corresponde a las botellas de reserva, como decía el enunciado.