Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sean

$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -6& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)\text{y}C=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$

Determina cuáles de las siguientes matrices tienen inversa, y si es el caso calcúlala: (2.5 puntos)

i) $A$
ii) $B$
iii) $C$
iv) $ABC$
v) $BC$

$\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{siguientes}}\mathbf{\text{matrices}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{inversa,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{calc}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{lala:}}\mathbf{\text{(2.5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que el primer paso es calcular los tres determinantes.

$\mathbf{\text{i)}}\mathit{A}$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}3& 1\\ -6& -2\end{array}\mid =3\cdot (-2)-1\cdot (-6)=-6+6=0$

La matriz $A$ no tiene inversa: su segunda fila es la primera multiplicada por $-2$, de modo que las dos filas son proporcionales.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathit{B}$

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\mid =6-0=6\mathrm{\ne }0$

Sí tiene inversa. En una matriz de orden 2 se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia de signo a los de la secundaria y se divide por el determinante:

$B^{-1}={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 0& 2\end{array}\right)$

$\mathbf{\text{iii)}}\mathit{C}$

$\mathrm{\mid }C\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\mid =1+1=2\mathrm{\ne }0$

$C^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$



No hace falta multiplicar las tres matrices: el determinante de un producto es el producto de los determinantes.

$\mathrm{\mid }ABC\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }C\mathrm{\mid }=0\cdot 6\cdot 2=0$

El producto $ABC$ no tiene inversa. Basta con que uno de los factores sea singular para que lo sea todo el producto.



$\mathrm{\mid }BC\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }C\mathrm{\mid }=6\cdot 2=12\mathrm{\ne }0$

Sí tiene inversa. Se calcula primero el producto:

$BC=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 3& 3\end{array}\right)$

$(BC{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{12}}\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -3& 3\end{array}\right)$

Se comprueba que coincide con $C^{-1}{B}^{-1}$, que es como se invierte un producto:

$C^{-1}{B}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 0& 2\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{12}}\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -3& 3\end{array}\right)$

Tienen inversa $B$, $C$ y $BC$; no la tienen $A$ ni $ABC$.