Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Consideramos la ecuación matricial

$X^2-X=2I,$

donde I es la matriz identidad.

i) ¿Qué matrices de la forma $X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& -1\end{array}\right)$ cumplen la ecuación? (2 puntos)
ii) ¿Se puede expresar en general la diferencia $X^2-X$ como un producto de matrices? (0.25 puntos)
iii) Si X es una matriz cuadrada de orden n que cumple la ecuación, ¿cuál es su rango? (0.25 puntos)

Se calcula el cuadrado de la matriz y se plantea la ecuación elemento a elemento.

$X^2=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}^2& ab-b\\ 0& 1\end{array}\right)$

$X^2-X=\left(\begin{array}{cc}{a}^2-a& ab-2b\\ 0& 2\end{array}\right)$

$X^2-X=2I\Rightarrow \{\begin{array}{l}{a}^2-a=2\\ ab-2b=0\\ 2=2\end{array}$

La tercera condición se cumple sola. De la primera:

$a^2-a-2=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}}={\displaystyle \frac{1\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=2\\ a=-1\end{array}$

La segunda se factoriza como $b(a-2)=0$, y hay que estudiarla para cada valor de $a$.

Si $a=2$ el factor $a-2$ se anula y la condición se cumple sea cual sea $b$.

Si $a=-1$ queda $-3b=0$, de modo que $b=0$.

Hay, por tanto, infinitas soluciones: toda la familia

$X=\left(\begin{array}{cc}2& b\\ 0& -1\end{array}\right),b\in \mathbb{R}$

y además la matriz aislada

$X=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=-I$

Se comprueba esta última: $(-I{)}^2-(-I)=I+I=2I$.



Sí. Sacando factor común $X$ y recordando que $X\cdot I=X$:

$X^2-X=X\cdot X-X\cdot I=X(X-I)$

Como $X$ conmuta consigo misma y con la identidad, también se puede escribir $(X-I)X$.

$\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{X}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{cuadrada}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{orden}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cumple}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{rango?}}\mathbf{\text{(0.25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Usando la factorización anterior en la ecuación:

$X(X-I)=2I\Rightarrow X\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}(X-I)=I$

Existe entonces una matriz que multiplicada por $X$ da la identidad, luego $X$ es invertible y su determinante no es nulo.

El rango de $X$ es $n$, el máximo posible.