Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Si $A=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ -1& 2\end{array}\right)$:

i) Calcula $A^2$ y $A^3$. (0,5 puntos)
ii) Teniendo en cuenta los resultados del apartado anterior, calcula $A^{15}$ y $A^{30}$. (1 punto)
iii) Resuelve la ecuación matricial $AX=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$. (1 punto)

Se multiplica la matriz por sí misma.

$A^2=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4-3& -6+6\\ 2-2& -3+4\end{array}\right)$

$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

$A^3=A^2\cdot A=I\cdot A=A=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ -1& 2\end{array}\right)$



Como el cuadrado es la identidad, las potencias se repiten de dos en dos: las de exponente par valen $I$ y las de exponente impar valen $A$. Basta descomponer cada exponente.

$A^{15}=A^{14}\cdot A={\left(A^2\right)}^7\cdot A=I^7\cdot A=A=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ -1& 2\end{array}\right)$

$A^{30}={\left(A^2\right)}^{15}=I^{15}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$



De la igualdad $A^2=I$ se deduce directamente la inversa, sin necesidad de calcularla por adjuntos: la matriz que multiplicada por $A$ da la identidad es ella misma.

$A^{-1}=A$

Se despeja $X$ multiplicando por la izquierda, que es el lado por el que $A$ multiplica a $X$:

$X=A^{-1}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}-2+3& -2+3\\ -1+2& -1+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado:

$AX=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$

La solución es $X=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, la misma matriz del segundo miembro.