Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dado el parámetro $m$ y las matrices siguientes:

$A=\left(\begin{array}{cc}-2& m\\ 4& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 3\mathrm{/}2\\ 2& 1\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{cc}-2& m\\ 2& m+6\end{array}\right)$, $D=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ y $E=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$.

a) A partir de $(A\cdot B-C)\cdot D=E$ plantee un sistema de dos ecuaciones, con incógnitas $x$ e $y$. [1 punto]

b) El sistema planteado, ¿tiene solución para cualquier valor de $m$? En caso afirmativo, ¿es siempre única? En caso negativo, ¿para qué valores de $m$ no tiene solución? Explique sus respuestas y calcule una solución para un valor de $m$, a su elección, de los que hacen que el sistema tenga solución única. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{(A}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{-}}\mathbf{\text{C)}}\mathbf{\text{D}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{E}}\mathbf{\text{plantee}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{ecuaciones,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{inc}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{gnitas}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{y.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se opera por pasos. Primero el producto:

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}-2& m\\ 4& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 3\mathrm{/}2\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2+2m& -3+m\\ 4+2& 6+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2m-2& m-3\\ 6& 7\end{array}\right)$

Después la resta, que es la que simplifica el resultado:

$A\cdot B-C=\left(\begin{array}{cc}2m-2& m-3\\ 6& 7\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}-2& m\\ 2& m+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2m& -3\\ 4& 1-m\end{array}\right)$

Y por último el producto por el vector de incógnitas, igualado a $E$:

$\left(\begin{array}{cc}2m& -3\\ 4& 1-m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$

$\{\begin{array}{rcrcl}2mx& -& 3y& =& -1\\ 4x& +& (1-m)y& =& 1\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{cualquier}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m?}}\mathbf{\text{¿Es}}\mathbf{\text{siempre}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica?}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{elecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hacen}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se estudia el determinante de la matriz de coeficientes:

$\mid \begin{array}{cc}2m& -3\\ 4& 1-m\end{array}\mid =2m(1-m)+12=-2m^2+2m+12=-2(m^2-m-6)$

$-2(m-3)(m+2)=0\Rightarrow m=3\text{ o }m=-2$

Para cualquier otro valor de $m$ el determinante no se anula y el sistema tiene solución única. Falta ver qué ocurre en los dos casos especiales:

$\mathbf{\text{Si}}m=3$: el sistema es $6x-3y=-1$, $4x-2y=1$. Multiplicando la segunda por $3\mathrm{/}2$ se obtiene $6x-3y=3\mathrm{/}2$, que contradice a la primera. Es $\mathbf{\text{incompatible}}$: no tiene solución.

$\mathbf{\text{Si}}m=-2$: queda $-4x-3y=-1$ y $4x+3y=1$, que son la misma ecuación cambiada de signo. El sistema es $\mathbf{\text{compatible}}\mathbf{\text{indeterminado}}$ y tiene infinitas soluciones.

En resumen: no tiene solución solo para $m=3$; para $m=-2$ tiene infinitas, y para el resto de valores, una única.

Se elige, por ejemplo, $m=0$, para el que el determinante vale $12\mathrm{\ne }0$:

$\{\begin{array}{rcl}-3y& =& -1\\ 4x+y& =& 1\end{array}$

De la primera, $y=\frac{1}{3}$, y sustituyendo:

$4x=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\Rightarrow x=\frac{1}{6}$

La solución es $(x,y)=(\frac{1}{6},\frac{1}{3})$.