Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}-1& -m\\ 3& -8-m\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}m& -3\\ 1& 0\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$, $D=\left(\begin{array}{c}4\\ 6m-8\end{array}\right)$ y $E=\left(\begin{array}{c}0\\ -2m\end{array}\right)$:

a) Si $A\cdot B\cdot C={\displaystyle \frac{1}{2}}D+E$, plantee un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por $x$ e $y$) en función del parámetro $m$. [1,5 puntos]

b) Encuentre un valor de $m$ para el cual el sistema tenga infinitas soluciones. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{C}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{(1/2)D}}\mathbf{\text{+}}\mathbf{\text{E,}}\mathbf{\text{plantee}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{inc}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{gnitas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{m.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se calcula primero el producto de las dos matrices cuadradas:

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}-1& -m\\ 3& -8-m\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}m& -3\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-m-m& 3\\ 3m-8-m& -9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2m& 3\\ 2m-8& -9\end{array}\right)$

y después por el vector de incógnitas:

$A\cdot B\cdot C=\left(\begin{array}{c}-2mx+3y\\ (2m-8)x-9y\end{array}\right)$

El segundo miembro es

$\frac{1}{2}D+E=\left(\begin{array}{c}2\\ 3m-4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ -2m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ m-4\end{array}\right)$

Igualando componente a componente:

$\{\begin{array}{rcrcl}-2mx& +& 3y& =& 2\\ (2m-8)x& -& 9y& =& m-4\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{infinitas}}\mathbf{\text{soluciones.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Para que haya infinitas soluciones el determinante de los coeficientes ha de anularse:

$\mid \begin{array}{cc}-2m& 3\\ 2m-8& -9\end{array}\mid =18m-3(2m-8)=18m-6m+24=12m+24$

$12m+24=0\Rightarrow m=-2$

Falta comprobar que con ese valor el sistema es compatible —y no incompatible—, lo que exige que la segunda ecuación sea proporcional a la primera también en el término independiente. Con $m=-2$:

$\{\begin{array}{rcl}4x+3y& =& 2\\ -12x-9y& =& -6\end{array}$

y la segunda ecuación es exactamente la primera multiplicada por $-3$. El sistema se reduce a una sola ecuación, $4x+3y=2$, y tiene infinitas soluciones:

$(x,y)=(\lambda ,\frac{2-4\lambda }{3}),\lambda \in \mathbb{R}$

El valor buscado es, por tanto, $m=-2$.