Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}m& 3\\ 2m& 2\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ m& 1-m\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$, $D=\left(\begin{array}{c}m\\ 2\end{array}\right)$ y $E=\left(\begin{array}{c}2m\\ 3\end{array}\right)$:

a) Si $A\cdot B\cdot C+D=E$, plantee un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por $x$ e $y$) en función del parámetro $m$. [1,5 puntos]

b) Indique un valor de $m$ para el cual el sistema no tenga solución y explique por qué. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{C}}\mathbf{\text{+}}\mathbf{\text{D}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{E,}}\mathbf{\text{plantee}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{inc}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{gnitas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{m.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se calcula primero el producto de las dos matrices cuadradas:

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}m& 3\\ 2m& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ m& 1-m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3m& m+3(1-m)\\ 2m& 2m+2(1-m)\end{array}\right)$

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}3m& 3-2m\\ 2m& 2\end{array}\right)$

Conviene despejar antes de multiplicar por el vector de incógnitas:

$A\cdot B\cdot C=E-D=\left(\begin{array}{c}2m\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}m\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}m\\ 1\end{array}\right)$

Y ahora sí:

$\left(\begin{array}{cc}3m& 3-2m\\ 2m& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}m\\ 1\end{array}\right)$

$\{\begin{array}{rcrcl}3mx& +& (3-2m)y& =& m\\ 2mx& +& 2y& =& 1\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{explique}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se estudia el determinante de la matriz de coeficientes:

$\mid \begin{array}{cc}3m& 3-2m\\ 2m& 2\end{array}\mid =6m-2m(3-2m)=6m-6m+4m^2=4m^2$

que solo se anula para $\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{0}}$. Para cualquier otro valor el sistema tiene solución única, así que ese es el único candidato.

Con $m=0$ el sistema queda

$\{\begin{array}{rcl}3y& =& 0\\ 2y& =& 1\end{array}$

La primera ecuación obliga a $y=0$ y la segunda a $y=\frac{1}{2}$, lo que es imposible. El sistema es $\mathbf{\text{incompatible}}$: no tiene solución.

Dicho en términos de rangos, con $m=0$ la matriz de coeficientes tiene rango 1 —la incógnita $x$ desaparece de las dos ecuaciones— mientras que la ampliada tiene rango 2, y por el teorema de Rouché-Frobenius eso significa que no hay solución.