Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Se considera la matriz

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$

a) Pruebe que se verifica que $A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(A^2-4A+5I_3)$. [1,5 puntos]

b) Dada la ecuación matricial $X^{t}A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& -1& 1\end{array}\right)$, determine la dimensión de $X$ y resuelva la ecuación. [1 punto]

Se trata de comprobar una igualdad entre dos matrices, así que calculamos por separado los dos miembros y los comparamos. Empezamos por el de la derecha.

$A^2=A\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& -3& 1\end{array}\right)$

$A^2-4A+5I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& -3& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& 8& 0\\ 0& -4& 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right)$

$A^2-4A+5I_3=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 1& 2\end{array}\right)\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{2}}(A^2-4A+5I_3)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{2}}& 0\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{2}}& 1\end{array}\right)$

Basta ahora comprobar que esa matriz es la inversa de $A$, es decir, que multiplicada por $A$ da la identidad. Antes conviene ver que la inversa existe:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\mid =1\cdot (2\cdot 1-0\cdot (-1))=2\mathrm{\ne }0$

$A\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}(A^2-4A+5I_3)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{2}}& 0\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{2}}& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I_3$

Como el producto es la matriz identidad y la inversa de una matriz regular es única, queda probado que $A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(A^2-4A+5I_3)$.



Dos matrices se pueden multiplicar cuando el número de columnas de la primera coincide con el de filas de la segunda, y el producto hereda las filas de la primera y las columnas de la segunda. Si $X^t$ es de dimensión $m\times n$, el producto $X^{t}A$ exige $n=3$ y resulta de dimensión $m\times 3$, que ha de ser $2\times 3$.

$X^t:2\times 3\Rightarrow X:3\times 2$

Para despejar multiplicamos por la derecha por $A^{-1}$, que ya conocemos del apartado anterior.

$X^{t}A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& -1& 1\end{array}\right)\cdot A^{-1}\Rightarrow X^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& -1& 1\end{array}\right)\cdot A^{-1}$

$X^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& -1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{2}}& 0\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{2}}& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 3& 0& 1\end{array}\right)$

Trasponemos para obtener $X$.

$X=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

La matriz $X$ es de dimensión $3\times 2$ y vale $X=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.