Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

a) Plantee y resuelva el siguiente problema de forma matricial: [1,75 puntos]

El gerente de una empresa de productos hospitalarios desea introducir un nuevo producto en el mercado nacional. Para ello contrata a 3 vendedores que se han encargado de las zonas A, B y C del país, respectivamente. El vendedor de la zona A ha trabajado 40 horas, ha realizado 10 demostraciones y 5 viajes para dicha promoción. El vendedor de la zona B ha trabajado el doble de horas que el de la zona A, realizando 15 demostraciones y 8 viajes. En cuanto al vendedor de la zona C, ha trabajado 100 horas, ha realizado 25 demostraciones y 10 viajes. El gerente debe abonarles 75 € por hora trabajada, 300 € por demostración y 250 € por viaje realizado. Teniendo en cuenta que, además, debe aplicárseles una retención en concepto del impuesto del IRPF del 15 % si la cantidad a abonar al vendedor es menor de diez mil euros y del 18 % en caso contrario, determine la cantidad final que cobrará cada vendedor.

b) Sea $A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 2& 1\\ 3& a-1& 2\\ 4& 0& 3\end{array}\right)$ ¿Para qué valores de $a$ es la matriz $A$ invertible? [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resuelva}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{matricial:}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ordenamos el trabajo de los tres vendedores en una matriz $H$ en la que cada fila es un vendedor y cada columna un concepto —horas, demostraciones y viajes—, teniendo en cuenta que el vendedor de la zona B ha trabajado el doble de horas que el de la zona A, es decir, $2\cdot 40=80$ horas.

$H=\left(\begin{array}{ccc}40& 10& 5\\ 80& 15& 8\\ 100& 25& 10\end{array}\right)$

Los precios que la empresa abona por cada concepto forman una matriz columna:

$P=\left(\begin{array}{c}75\\ 300\\ 250\end{array}\right)$

El producto $H\cdot P$ da, en cada fila, la cantidad bruta que corresponde a cada vendedor.

$H\cdot P=\left(\begin{array}{ccc}40& 10& 5\\ 80& 15& 8\\ 100& 25& 10\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}75\\ 300\\ 250\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}40\cdot 75+10\cdot 300+5\cdot 250\\ 80\cdot 75+15\cdot 300+8\cdot 250\\ 100\cdot 75+25\cdot 300+10\cdot 250\end{array}\right)$

$H\cdot P=\left(\begin{array}{c}7250\\ 12500\\ 17500\end{array}\right)$

Aplicamos ahora la retención que corresponde a cada importe. El vendedor de la zona A cobra menos de diez mil euros, así que se le retiene el 15 \% y percibe el 85 \% de su bruto; a los otros dos, que superan esa cantidad, se les retiene el 18 \% y perciben el 82 \%.

$7250\cdot \mathrm{0,85}=\mathrm{6162,50}$

$12500\cdot \mathrm{0,82}=10250$

$17500\cdot \mathrm{0,82}=14350$

El vendedor de la zona A cobra 6162,50 €, el de la zona B 10 250 € y el de la zona C 14 350 €.



Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Lo calculamos desarrollando por la tercera fila, que es la que tiene un cero.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}-2& 2& 1\\ 3& a-1& 2\\ 4& 0& 3\end{array}\mid =4\cdot \mid \begin{array}{cc}2& 1\\ a-1& 2\end{array}\mid +3\cdot \mid \begin{array}{cc}-2& 2\\ 3& a-1\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=4[4-(a-1)]+3[-2(a-1)-6]$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=4(5-a)+3(-2a-4)=20-4a-6a-12=8-10a$

Imponemos que el determinante no se anule.

$8-10a\mathrm{\ne }0\Rightarrow a\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{8}{10}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$

La matriz $A$ es invertible para todo valor real de $a$ distinto de ${\displaystyle \frac{4}{5}}=\mathrm{0,8}$.