Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dada una matriz cuadrada A:

i) ¿Puede saberse si tiene inversa sin calcularla explícitamente? ¿Cómo? (0,5 puntos)
ii) Sea ahora A la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$. Halla, si existe, la inversa de A. (0,75 puntos)
iii) Si A es la matriz del apartado anterior, determina las matrices X e Y de orden 2 tales que: (1,25 puntos)

$\{\begin{array}{l}3X+2Y=A\\ X+Y=2A\end{array}$

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{¿Puede}}\mathbf{\text{saberse}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{calcularla}}\mathbf{\text{expl}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{citamente?}}\mathbf{\text{¿C}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Sí. Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, de modo que basta con calcular ese único número.

$\mathrm{\exists }{A}^{-1}⟺\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$

La razón es que de $A\cdot A^{-1}=I$ se sigue $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\cdot \mid A^{-1}\mid =1$, y para que ese producto valga 1 ninguno de los dos factores puede ser nulo. Cuando el determinante no se anula la matriz se llama regular, y cuando se anula, singular.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Sea}}\mathbf{\text{ahora}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz.}}\mathbf{\text{Halla,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existe,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{A.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se calcula el determinante:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\mid =3-2=1\mathrm{\ne }0$

La matriz es regular y tiene inversa. Al ser de orden 2 basta con intercambiar los elementos de la diagonal principal, cambiar de signo los de la secundaria y dividir por el determinante:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1}}\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 1\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado:

$A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

$\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{determina}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{matrices}}\mathbf{\text{X}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{Y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{orden}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{tales}}\mathbf{\text{que:}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Es un sistema de dos ecuaciones matriciales con dos incógnitas. Como las matrices solo aparecen sumadas y multiplicadas por números, se resuelve por sustitución igual que un sistema numérico.

De la segunda ecuación se despeja $Y$:

$Y=2A-X$

y se lleva a la primera:

$3X+2(2A-X)=A\Rightarrow 3X+4A-2X=A$

$X=A-4A=-3A$

$Y=2A-(-3A)=5A$

Ahora se sustituye la matriz concreta:

$X=-3\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& -6\\ -3& -9\end{array}\right)$

$Y=5\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 10\\ 5& 15\end{array}\right)$

Se comprueban las dos ecuaciones sin necesidad de operar con los números, usando que ambas incógnitas son múltiplos de $A$:

$3X+2Y=-9A+10A=A;X+Y=-3A+5A=2A$