Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sea A una matriz inversible de orden 2.

i) Halla las matrices X e Y que cumplen que (0.75 puntos)

$\{\begin{array}{l}AX+Y=I\\ AX-Y=0\end{array}$

donde I es la matriz identidad $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ y 0 es la matriz nula.

ii) En particular, calcula las soluciones X e Y para $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$. (1.75 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Halla}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{matrices}}\mathbf{\text{X}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{Y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cumplen}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{(0.75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se trata de un sistema de dos ecuaciones matriciales. Como las incógnitas aparecen sumadas y restadas, se resuelve por reducción igual que un sistema numérico, con la precaución de no cambiar el orden de los productos.

Sumando las dos ecuaciones desaparece $Y$:

$2AX=I\Rightarrow AX={\displaystyle \frac{1}{2}}I$

Se multiplica por la izquierda por $A^{-1}$, que existe porque el enunciado dice que $A$ es inversible:

$X={\displaystyle \frac{1}{2}}{A}^{-1}$

Restando la segunda ecuación de la primera desaparece $AX$:

$2Y=I\Rightarrow Y={\displaystyle \frac{1}{2}}I$

Las soluciones son $X={\displaystyle \frac{1}{2}}{A}^{-1}$ e $Y={\displaystyle \frac{1}{2}}I$.



Se calcula primero la inversa de $A$. Su determinante vale

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\mid =0-1=-1\mathrm{\ne }0$

de modo que la matriz es inversible. Al ser de orden 2, se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia de signo a los de la secundaria y se divide por el determinante:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-1}}\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=A$

La matriz coincide con su inversa, cosa que se comprueba viendo que $A^2=I$.

$X={\displaystyle \frac{1}{2}}A=\left(\begin{array}{cc}0& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& 0\end{array}\right);Y={\displaystyle \frac{1}{2}}I=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& 0\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$

Se comprueban las dos ecuaciones del sistema:

$AX=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)$

$AX+Y=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I;AX-Y=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$