Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Una de las dos matrices siguientes tiene matriz inversa. Calcúlala: (2 puntos)

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 2& 1& 1\end{array}\right)$

¿Cuál es la inversa de dicha matriz inversa? ¿Por qué sabes que la otra matriz no tiene inversa? (0.5 puntos)

$\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{matrices}}\mathbf{\text{siguientes}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{inversa.}}\mathbf{\text{Calc}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{lala:}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es nulo, así que se calculan los dos determinantes. Se desarrollan por la primera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\mid =1(0-1)-1(1-0)+0=-1-1=-2\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 2& 1& 1\end{array}\mid =1(0-1)-1(1-2)+0=-1+1=0$

La que tiene inversa es $A$. Se calcula por el método de los adjuntos.

$\text{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ -1& 1& -1\\ 1& -1& -1\end{array}\right)$

La matriz de adjuntos resulta simétrica, así que coincide con su traspuesta. Aplicando la fórmula:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{(\text{Adj}(A))}^t={\displaystyle \frac{1}{-2}}\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ -1& 1& -1\\ 1& -1& -1\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado multiplicando:

$A\cdot A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)=I$

$\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{inversa?}}\mathbf{\text{¿Por}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sabes}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{otra}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa?}}\mathbf{\text{(0.5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La igualdad $A\cdot A^{-1}=I$ se lee en los dos sentidos: si $A^{-1}$ es la inversa de $A$, entonces $A$ es la inversa de $A^{-1}$.

${\left(A^{-1}\right)}^{-1}=A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$

La matriz $B$ no tiene inversa porque su determinante es cero, y lo es porque sus filas no son independientes: la tercera es la suma de las dos primeras.

$(1,1,0)+(1,0,1)=(2,1,1)$

Al ser una fila combinación lineal de las otras, el rango de $B$ es 2 y no 3, de modo que $B$ es singular.