Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Una matriz cuadrada A se dice idempotente si $A^2=A$.

i) Estudia si hay matrices idempotentes $2\times 2$ que sean de la forma $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ a& b\end{array}\right)$ o de la forma $\left(\begin{array}{cc}2& b\\ a& 1\end{array}\right)$. En cada caso debes indicar, si la respuesta es afirmativa, el valor de a y b. (2 puntos)
ii) Si una matriz A es idempotente, calcula su potencia $A^{2022}$. (0.5 puntos)

En los dos casos se calcula el cuadrado y se impone que coincida con la matriz de partida, elemento a elemento.

Primera forma:

$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ a& b\end{array}\right)\Rightarrow A^2=\left(\begin{array}{cc}4+a& 2+b\\ 2a+ab& a+b^2\end{array}\right)$

$A^2=A\Rightarrow \{\begin{array}{l}4+a=2\\ 2+b=1\\ 2a+ab=a\\ a+b^2=b\end{array}$

De las dos primeras ecuaciones se despejan directamente los parámetros:

$a=-2;b=-1$

Falta comprobar que también se cumplen las otras dos, que no aportan nada nuevo:

$2(-2)+(-2)(-1)=-4+2=-2=a$

$-2+(-1{)}^2=-2+1=-1=b$

Sí hay matriz idempotente de la primera forma, y es única:

$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -2& -1\end{array}\right)$

Segunda forma:

$A=\left(\begin{array}{cc}2& b\\ a& 1\end{array}\right)\Rightarrow A^2=\left(\begin{array}{cc}4+ab& 3b\\ 3a& ab+1\end{array}\right)$

$A^2=A\Rightarrow \{\begin{array}{l}4+ab=2\\ 3b=b\\ 3a=a\\ ab+1=1\end{array}$

La segunda ecuación obliga a $b=0$ y la tercera a $a=0$, con lo que $ab=0$. Pero entonces la primera ecuación pide $4=2$, que es falso.

No hay ninguna matriz idempotente de la segunda forma: el sistema es incompatible.



Se calculan las primeras potencias usando repetidamente la propia definición:

$A^2=A$

$A^3=A^2\cdot A=A\cdot A=A^2=A$

$A^4=A^3\cdot A=A\cdot A=A$

Cada vez que se multiplica por $A$ se vuelve a obtener $A$, de modo que todas las potencias de exponente natural coinciden con la matriz.

$A^{2022}=A$