Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Justifica que la siguiente matriz es regular, y calcula su matriz inversa: (2.5 puntos)

$\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ -1& 1& -1\\ -1& -1& 1\end{array}\right)$

$\mathbf{\text{Justifica}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{regular,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{inversa:}}\mathbf{\text{(2.5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Una matriz cuadrada es regular cuando su determinante no es nulo, así que se empieza por calcularlo desarrollando por la primera fila.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ -1& 1& -1\\ -1& -1& 1\end{array}\mid =1(1-1)+1(-1-1)-1(1+1)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0-2-2=-4\mathrm{\ne }0$

La matriz es regular y, por tanto, tiene inversa. Se calcula por el método de los adjuntos.

$\text{Adj}(M)=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 2\\ 2& 0& 2\\ 2& 2& 0\end{array}\right)$

La matriz de adjuntos resulta simétrica, de modo que coincide con su traspuesta y el último paso es solo dividir por el determinante:

$M^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }}}{(\text{Adj}(M))}^t={\displaystyle \frac{1}{-4}}\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 2\\ 2& 0& 2\\ 2& 2& 0\end{array}\right)$

$M^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}0& -1& -1\\ -1& 0& -1\\ -1& -1& 0\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado multiplicando:

$M\cdot M^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ -1& 1& -1\\ -1& -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& -1& -1\\ -1& 0& -1\\ -1& -1& 0\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)=I$

La matriz es regular porque su determinante vale $-4$, y su inversa es $M^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}0& -1& -1\\ -1& 0& -1\\ -1& -1& 0\end{array}\right)$.