Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^2+b}{x^3}}$, siendo a y b números reales, se pide:

a) Calcula los valores de a y b sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto $P=(1,3)$ y que la recta tangente a esta curva en P es paralela a la recta de ecuación $y=-5x+2$. (1 punto)
b) Para $b=4$, calcula el valor de a para que la función posea un extremo relativo en $x=2$. Para este valor de a, indica si en $x=2$ la función alcanza un máximo o un mínimo relativo. (1 punto)
c) Para $a=2$, calcula el valor de b para que se verifique la igualdad ${\displaystyle {\int }_1^3{x}^{4}f(x)dx=12}$. (1 punto)

Antes de derivar conviene escribir la función como suma de potencias, que es como se deriva con menos esfuerzo:

$f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^2+b}{x^3}}={\displaystyle \frac{a}{x}}+{\displaystyle \frac{b}{x^3}}=a{x}^{-1}+b{x}^{-3}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-a{x}^{-2}-3b{x}^{-4}=-{\displaystyle \frac{a}{x^2}}-{\displaystyle \frac{3b}{x^4}}$



Las dos condiciones del enunciado dan dos ecuaciones. La primera es que el punto pertenezca a la gráfica:

$f(1)=3\Rightarrow {\displaystyle \frac{a\cdot 1^2+b}{1^3}}=3\Rightarrow a+b=3$

La segunda es que la pendiente de la tangente en $P$ coincida con la de la recta dada, porque dos rectas paralelas tienen la misma pendiente:

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=-5\Rightarrow -a-3b=-5\Rightarrow a+3b=5$

Se reúnen las dos en un sistema y se resuelve por reducción, restando la primera de la segunda:

$\{\begin{array}{l}a+b=3\\ a+3b=5\end{array}\Rightarrow 2b=2\Rightarrow b=1$

$a=3-b=3-1=2$

Los valores pedidos son $a=2$ y $b=1$.



La condición necesaria de extremo relativo es que la derivada se anule en ese punto.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{a}{x^2}}-{\displaystyle \frac{12}{x^4}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(2)=0\Rightarrow -{\displaystyle \frac{a}{4}}-{\displaystyle \frac{12}{16}}=0\Rightarrow -{\displaystyle \frac{a}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\Rightarrow a=-3$

Con $a=-3$ la derivada queda

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{3}{x^2}}-{\displaystyle \frac{12}{x^4}}={\displaystyle \frac{3x^2-12}{x^4}}={\displaystyle \frac{3(x^2-4)}{x^4}}$

El denominador es positivo salvo en $x=0$, que no pertenece al dominio, así que el signo de la derivada es el de $x^2-4$.

$f^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{-9}{1}}<0;f^{\mathrm{\prime }}(3)={\displaystyle \frac{15}{81}}>0$



En $x=2$ la función pasa de decrecer a crecer. Se confirma con la segunda derivada:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{6}{x^3}}+{\displaystyle \frac{48}{x^5}}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(2)=-{\displaystyle \frac{6}{8}}+{\displaystyle \frac{48}{32}}={\displaystyle \frac{3}{4}}>0$

Para $a=-3$ la función alcanza en $x=2$ un mínimo relativo.



Se simplifica el integrando antes de integrar:

$x^{4}f(x)=x^4\cdot {\displaystyle \frac{2x^2+b}{x^3}}=x(2x^2+b)=2x^3+bx$

${\int }_1^3(2x^3+bx)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{2}}+{\displaystyle \frac{b{x}^2}{2}}]}_1^3$

$=({\displaystyle \frac{81}{2}}+{\displaystyle \frac{9b}{2}})-({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{b}{2}})=40+4b$

Se iguala al valor que pide el enunciado y se despeja:

$40+4b=12\Rightarrow 4b=-28\Rightarrow b=-7$

El valor del parámetro para el que se cumple la igualdad es $b=-7$.