Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dada la matriz $M=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 1& -a\end{array}\right)$, siendo a un número real, se pide:

a) Calcula el valor de a para que se cumpla $M^2=I$. Para ese valor de a, calcula la matriz inversa de M y halla $M^{21}$. (1 punto)
b) Para $a=1$: calcula una matriz X que verifique la igualdad $M\cdot X+M^T=2I$. (1 punto)

I representa la matriz identidad de orden 2 y $M^T$ la matriz traspuesta de M.

Se calcula primero el cuadrado de la matriz en función del parámetro.

$M^2=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 1& -a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 1& -a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+1& a-a\\ a-a& 1+a^2\end{array}\right)$

$M^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+1& 0\\ 0& a^2+1\end{array}\right)$

Se impone que ese resultado sea la matriz identidad:

$a^2+1=1\Rightarrow a^2=0\Rightarrow a=0$

Para $a=0$ la matriz es $M=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

De la propia igualdad $M^2=I$ se deduce la inversa sin necesidad de calcularla por adjuntos: si $M\cdot M=I$, la matriz que multiplicada por $M$ da la identidad es ella misma.

$M\cdot M=I\Rightarrow M^{-1}=M=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

Para la potencia se descompone el exponente aprovechando de nuevo que el cuadrado es la identidad:

$M^{21}=M^{20}\cdot M={\left(M^2\right)}^{10}\cdot M=I^{10}\cdot M=M$

$M^{21}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

Es decir, las potencias de $M$ se repiten de dos en dos: las de exponente par valen $I$ y las de exponente impar valen $M$.



Con $a=1$ la matriz es $M=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$, que es simétrica, de modo que $M^T=M$.

Se despeja $X$ de la ecuación matricial multiplicando por la izquierda por la inversa de $M$, que es el lado por el que $M$ multiplica a $X$:

$M\cdot X=2I-M^T$

$X=M^{-1}(2I-M^T)$

$2I-M^T=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 3\end{array}\right)$

Se calcula la inversa de $M$. Su determinante vale

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\mid =-1-1=-2\mathrm{\ne }0$

$M^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-2}}\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$

$X={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 3\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 2& -4\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado en la ecuación de partida:

$M\cdot X+M^T=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2I$

La matriz pedida es $X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right)$.