Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

Se ha realizado un estudio sobre el comportamiento de cierta sustancia en el organismo. Su concentración en sangre (medida en mg/l) viene modelada por la función

$C(x)={\displaystyle \frac{ax}{x^2+4}},x>0$

siendo a un número real y x el tiempo, en horas, transcurrido desde su administración. Se pide:

a) Calcula el valor de a sabiendo que la concentración de la sustancia en sangre transcurridas 4 horas es de 0,20 mg/l. Calcula ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }C(x)}$ e interpreta el resultado sabiendo lo que representan x y $C(x)$. (0,75 puntos)
b) Para $a=1$: calcula los intervalos de tiempo en los que la concentración aumenta y aquellos en los que disminuye. Estudia si la función posee o no algún extremo relativo, y en caso afirmativo, razona si se trata de un máximo o de un mínimo. (1,25 puntos)
c) Calcula el valor de a para que se verifique la igualdad ${\displaystyle {\int }_1^2(x^2+4)C(x)dx=6}$. (1 punto)

Se impone la condición del enunciado, que es $C(4)=\mathrm{0,20}$.

$C(4)={\displaystyle \frac{4a}{4^2+4}}={\displaystyle \frac{4a}{20}}={\displaystyle \frac{a}{5}}$

${\displaystyle \frac{a}{5}}=\mathrm{0,20}\Rightarrow a=1$

Para calcular el límite en el infinito se comparan los grados del numerador y del denominador: el del denominador es mayor, de modo que el cociente tiende a cero.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x}{x^2+4}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}}{1+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}}={\displaystyle \frac{0}{1}}=0$

El valor del parámetro es $a=1$ y el límite vale 0. Como $x$ es el tiempo transcurrido y $C(x)$ la concentración en sangre, esto significa que al pasar muchas horas desde la administración la sustancia acaba eliminándose: la concentración se aproxima tanto como se quiera a cero sin llegar a alcanzarlo. La recta $y=0$ es asíntota horizontal de la curva.



Se deriva la función aplicando la regla del cociente.

$C(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2+4}}\Rightarrow C^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1\cdot (x^2+4)-x\cdot 2x}{{(x^2+4)}^2}}$

$C^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{4-x^2}{{(x^2+4)}^2}}$

El denominador es siempre positivo, así que el signo de la derivada es el del numerador.

$C^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 4-x^2=0\Rightarrow x=\pm 2$

Se descarta $x=-2$ porque el tiempo transcurrido cumple $x>0$. Se estudia el signo a un lado y a otro del punto crítico:

$C^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{3}{25}}>0;C^{\mathrm{\prime }}(3)={\displaystyle \frac{-5}{169}}<0$



La concentración aumenta en el intervalo $(0,2)$ y disminuye en $(2,+\mathrm{\infty })$.

En $x=2$ la función pasa de crecer a decrecer, luego presenta un máximo relativo.

$C(2)={\displaystyle \frac{2}{2^2+4}}={\displaystyle \frac{2}{8}}=\mathrm{0,25}$

La concentración aumenta durante las dos primeras horas y disminuye a partir de entonces; alcanza su valor máximo, de 0,25 mg/l, a las 2 horas de la administración.



Antes de integrar conviene simplificar el integrando, porque el factor $x^2+4$ se cancela con el denominador de $C(x)$:

$(x^2+4)C(x)=(x^2+4)\cdot {\displaystyle \frac{ax}{x^2+4}}=ax$

${\int }_1^{2}axdx=a{\left[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\right]}_1^2=a({\displaystyle \frac{4}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{3a}{2}}$

Se iguala al valor que pide el enunciado y se despeja el parámetro:

${\displaystyle \frac{3a}{2}}=6\Rightarrow 3a=12\Rightarrow a=4$

El valor del parámetro para el que se cumple la igualdad es $a=4$.