Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}5& 1& 2\\ 0& 4& 1\\ 3& 2& 0\end{array}\right)$, se pide:

a) Calcula $A^2$ y calcula el determinante de la matriz inversa de A. (0,75 puntos)
b) Calcula una matriz X que verifique la igualdad $X\cdot A=B^T+I$. (1,25 puntos)

$B^T$ es la matriz traspuesta de B e I la matriz identidad de orden 3.

Se multiplica la matriz por sí misma.

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I$

Para el determinante de la inversa no hace falta calcular la inversa: basta con el determinante de $A$, que se obtiene desarrollando por la tercera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\mid =0-1=-1$

Como $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$, la matriz es regular y tiene inversa. Aplicando que $A\cdot A^{-1}=I$ y que el determinante de un producto es el producto de los determinantes:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\cdot \mid A^{-1}\mid =\mathrm{\mid }I\mathrm{\mid }=1\Rightarrow \mid A^{-1}\mid ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{1}{-1}}=-1$

Se tiene $A^2=I$ y $\mid A^{-1}\mid =-1$.



Se despeja $X$ multiplicando por la derecha por la inversa de $A$, que es el lado por el que $A$ multiplica a $X$:

$X\cdot A\cdot A^{-1}=(B^T+I)A^{-1}\Rightarrow X=(B^T+I)A^{-1}$

Del apartado anterior se sabe que $A^2=I$, luego $A^{-1}=A$ y no hay que calcular ninguna inversa.

$B^T=\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 3\\ 1& 4& 2\\ 2& 1& 0\end{array}\right)\Rightarrow B^T+I=\left(\begin{array}{ccc}6& 0& 3\\ 1& 5& 2\\ 2& 1& 1\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}6& 0& 3\\ 1& 5& 2\\ 2& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 6& 3\\ 5& 1& 2\\ 1& 2& 1\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado:

$X\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}0& 6& 3\\ 5& 1& 2\\ 1& 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}6& 0& 3\\ 1& 5& 2\\ 2& 1& 1\end{array}\right)=B^T+I$

La matriz pedida es $X=\left(\begin{array}{ccc}0& 6& 3\\ 5& 1& 2\\ 1& 2& 1\end{array}\right)$. Multiplicar por $A$ por la derecha equivale a intercambiar las dos primeras columnas, que es justo lo que se observa comparando las dos matrices.