Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Halla una matriz A que cumpla la igualdad

$A^2=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ (2.5 puntos)

Lo que pide el enunciado es una matriz de orden 2 cuyo cuadrado sea $-I$. Conviene razonar primero qué forma puede tener, porque probar al azar no lleva a ninguna parte.

Se plantea la matriz general y se impone la condición:

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\Rightarrow A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& b(a+d)\\ c(a+d)& d^2+bc\end{array}\right)$

Los dos elementos de fuera de la diagonal deben ser nulos:

$b(a+d)=0;c(a+d)=0$

Si fuera $b=c=0$ la matriz sería diagonal y su cuadrado tendría en la diagonal $a^2$ y $d^2$, que no pueden valer $-1$ por ser cuadrados de números reales. Se descarta esa posibilidad, luego debe anularse el otro factor:

$a+d=0\Rightarrow d=-a$

Con esa condición los elementos de la diagonal del cuadrado coinciden y basta imponer uno:

$a^2+bc=-1$

Cualquier terna que cumpla esa igualdad sirve: hay infinitas soluciones. La más sencilla se obtiene tomando $a=0$, con lo que $bc=-1$, y eligiendo $b=1$, $c=-1$:

$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado:

$A^2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0-1& 0+0\\ 0+0& -1+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

Una matriz que cumple la igualdad es $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$, que es la matriz del giro de 90°; otra sería, por ejemplo, $\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 1& -1\end{array}\right)$, y en general cualquier matriz de traza nula y determinante 1.