Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

La producción de un invernadero depende de la temperatura a la que esté regulado. La cantidad de toneladas de verduras que produce viene dada por la siguiente función, en la que x indica la temperatura en grados Celsius:

$f(x)=(x+3{)}^2(36-x)(0\le x\le 36)$

i) ¿Para qué valor de x se obtiene la máxima producción? (1,5 puntos)
ii) ¿Cuántas toneladas se obtienen a esa temperatura? (0,5 puntos)
iii) ¿Para qué valores de x el invernadero no produce nada? (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se deriva la función aplicando la regla del producto y se saca factor común, que es lo que permite resolver la ecuación sin desarrollar el polinomio.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x+3)(36-x)+(x+3{)}^2\cdot (-1)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x+3)[2(36-x)-(x+3)]=(x+3)(72-2x-x-3)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x+3)(69-3x)=3(x+3)(23-x)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-3\\ x=23\end{array}$

Se descarta $x=-3$ porque no pertenece al intervalo $[0,36]$ que fija el enunciado. Se estudia el signo de la derivada a un lado y a otro del punto crítico:

$f^{\mathrm{\prime }}(10)=3\cdot 13\cdot 13>0;f^{\mathrm{\prime }}(30)=3\cdot 33\cdot (-7)<0$

La producción crece hasta los 23 grados y decrece a partir de ahí, luego en $x=23$ hay un máximo.



La máxima producción se obtiene regulando el invernadero a 23 grados Celsius.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{toneladas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtienen}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{temperatura?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Basta sustituir en la función.

$f(23)=(23+3{)}^2(36-23)={26}^2\cdot 13=676\cdot 13$

$f(23)=8788$

A 23 grados se obtienen 8788 toneladas de verduras.

$\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{invernadero}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{nada?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se anula la función, que ya está factorizada:

$(x+3{)}^2(36-x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-3\\ x=36\end{array}$

De nuevo se descarta $x=-3$ por caer fuera del intervalo de estudio, y además no tendría sentido comparar producciones a temperaturas que el enunciado excluye.

El invernadero no produce nada a 36 grados Celsius, que es el extremo superior del intervalo.