Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2026

Después de este invierno tan lluvioso, la Confederación Hidrográfica del Guadiana ha decidido que un determinado pantano desembalse agua cada día desde las 9 hasta las 17 horas. La velocidad a la que el agua sale por sus compuertas, en ${\text{m}}^3$ por segundo, depende de la hora del día según la expresión:

$C(t)=-2000+576t-42t^2+t^{3}9\le t\le 17$

Calcule:

a) Los intervalos de tiempo en los que la velocidad de desembalse crece y en los que decrece. [1,5 puntos]

b) ¿A qué horas se producen las velocidades de desembalse máxima y mínima?, ¿a cuánto ascienden estas velocidades? [1 punto]

c) Se desea ampliar una hora el período de desembalse diario. Si se quiere desembalsar una mayor cantidad de agua por las compuertas, ¿interesará comenzar a las 8 (una hora antes) o continuar desembalsando hasta las 18 horas (una hora después)? [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desembalse}}\mathbf{\text{crece}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{decrece.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El crecimiento de una función derivable lo da el signo de su derivada, así que se deriva $C(t)$ y se buscan sus puntos críticos dentro del horario de desembalse.

$C^{\mathrm{\prime }}(t)=576-84t+3t^2=3(t^2-28t+192)$

$C^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow t={\displaystyle \frac{28\pm \sqrt{784-768}}{2}}={\displaystyle \frac{28\pm 4}{2}}\Rightarrow t_1=12,t_2=16$

Los dos valores pertenecen al intervalo $[9,17]$. Se estudia el signo de $C^{\mathrm{\prime }}(t)$ en cada tramo.

$C^{\mathrm{\prime }}(10)=3(100-280+192)=36>0C^{\mathrm{\prime }}(14)=3(196-392+192)=-12<0C^{\mathrm{\prime }}(17)=3(289-476+192)=15>0$



La velocidad de desembalse crece en $[9,12)\cup (16,17]$ y decrece en $(12,16)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{producen}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{velocidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desembalse}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima?,}}\mathbf{\text{¿a}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{ascienden}}\mathbf{\text{estas}}\mathbf{\text{velocidades?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Como el horario es un intervalo cerrado, los extremos absolutos hay que buscarlos entre los puntos críticos y los extremos del intervalo.

$C(9)=-2000+5184-3402+729=511$

$C(12)=-2000+6912-6048+1728=592$

$C(16)=-2000+9216-10752+4096=560$

$C(17)=-2000+9792-12138+4913=567$

En $t=12$ la función pasa de crecer a decrecer y en $t=16$ de decrecer a crecer, de modo que hay un máximo relativo y un mínimo relativo, respectivamente. Comparando los cuatro valores, el mayor es 592 y el menor 511.

La velocidad máxima se alcanza a las 12 horas y es de $592{\text{m}}^3\mathrm{/}\text{s}$; la mínima, a las 9 horas, al abrir las compuertas, y es de $511{\text{m}}^3\mathrm{/}\text{s}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{desea}}\mathbf{\text{ampliar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{hora}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{odo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desembalse}}\mathbf{\text{diario.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{quiere}}\mathbf{\text{desembalsar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{agua}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{compuertas,}}\mathbf{\text{¿interesar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{comenzar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{(una}}\mathbf{\text{hora}}\mathbf{\text{antes)}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{continuar}}\mathbf{\text{desembalsando}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{18}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{(una}}\mathbf{\text{hora}}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s)?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La cantidad de agua que sale en una hora es el área bajo la curva de la velocidad en esa hora, es decir, la integral definida de $C(t)$. Se calcula una primitiva y se aplica la regla de Barrow en los dos tramos.

$\int C(t)dt=-2000t+288t^2-14t^3+{\displaystyle \frac{t^4}{4}}$

${\int }_8^{9}C(t)dt=-\mathrm{3237,75}-(-3712)=\mathrm{474,25}$

${\int }_{17}^{18}C(t)dt=1908-\mathrm{1330,25}=\mathrm{577,75}$

Como $C(t)$ viene dada en metros cúbicos por segundo y una hora son 3600 segundos, esas cifras equivalen a $1707300{\text{m}}^3$ por la mañana y a $2079900{\text{m}}^3$ por la tarde.

Interesa continuar desembalsando hasta las 18 horas: por esa hora sale más agua que por la de las 8, en la que la velocidad es todavía baja.