Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2025

Los ingresos $I(t)$ y gastos $G(t)$ (en miles de euros) de un establecimiento desde el primer al sexto mes que lleva abierto dependen del tiempo, $t$ en meses, según las funciones:

$I(t)=3t^3+10Bt,G(t)=2t^3+3A{t}^2+Bt1\le t\le 6$

Se pide, justificando la respuesta:

a) Calcule la función $F(t)$ que relaciona los beneficios con el tiempo. [0,5 puntos]

b) Determine, razonando la respuesta, las constantes $A$ y $B$ sabiendo que el beneficio máximo fue de 112 mil euros y se alcanzó a los 4 meses desde la apertura. [1,5 puntos]

c) Para los valores de $A$ y $B$ calculados en el apartado anterior, determine el momento donde se produce el beneficio mínimo y a cuánto asciende este. [1 punto]

El beneficio es la diferencia entre los ingresos y los gastos.

$F(t)=I(t)-G(t)=(3t^3+10Bt)-(2t^3+3A{t}^2+Bt)$

$F(t)=t^3-3A{t}^2+9Bt1\le t\le 6$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine,}}\mathbf{\text{razonando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta,}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{constantes}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{112}}\mathbf{\text{mil}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanz}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{meses}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{apertura.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Que en $t=4$ haya un extremo obliga a que la derivada se anule allí, y que el beneficio valga 112 da la segunda ecuación. Con las dos se forma un sistema.

$F^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2-6At+9B$

$F^{\mathrm{\prime }}(4)=0\Rightarrow 48-24A+9B=0\Rightarrow 8A-3B=16$

$F(4)=112\Rightarrow 64-48A+36B=112\Rightarrow 4A-3B=-4$

Restando la segunda ecuación de la primera desaparece $B$.

$4A=20\Rightarrow A=5\Rightarrow 3B=4\cdot 5+4=24\Rightarrow B=8$

Se comprueba que en $t=4$ hay realmente un máximo con la segunda derivada.

$F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=6t-6A=6t-30\Rightarrow F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(4)=-6<0$

Las constantes son $A=5$ y $B=8$, y la función de beneficios queda $F(t)=t^3-15t^2+72t$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{calculados}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{asciende}}\mathbf{\text{este.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Como el tiempo recorre un intervalo cerrado, el mínimo absoluto hay que buscarlo entre los puntos críticos y los extremos del intervalo.

$F^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2-30t+72=3(t-4)(t-6)\Rightarrow t_1=4,t_2=6$



El beneficio crece en $[1,4)$ y decrece en $(4,6]$, de modo que el mínimo solo puede estar en uno de los dos extremos del intervalo.

$F(1)=1-15+72=58F(6)=216-540+432=108$

$58<108$

El beneficio mínimo se produce en el primer mes, $t=1$, y asciende a 58 mil euros.