Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

Problema 4.

En una empresa se ha comprobado que sus beneficios están relacionados con su inversión en publicidad según la función $B(x)=50000+40x-{\left(\frac{x}{10}\right)}^2$, donde $x$ es la inversión en publicidad $(x\ge 0)$ y $B(x)$ es el beneficio obtenido, ambos en euros.
a) Calcula la cantidad invertida en publicidad que produce un beneficio máximo. ¿Cuál es dicho beneficio máximo? (4 puntos)
b) Calcula los intervalos para la inversión en publicidad en los que los beneficios crecen o decrecen a medida que se invierte en publicidad. (3 puntos)
c) ¿Existe un valor para la inversión en publicidad a partir del cual los beneficios obtenidos serían menores que si no se invirtiera nada en publicidad? En caso afirmativo, determínalo. (3 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{invertida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{publicidad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Para averiguar el máximo derivamos la función y la igualamos a cero, para calcular la $x$ de la inversión en publicidad:

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=40-\frac{2x}{100}=40-\frac{x}{50}$

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 40-\frac{x}{50}=0\Rightarrow x=2000\text{€}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{publicidad}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{crecen}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{decrecen}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{medida}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{invierte}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{publicidad.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La función sigue el siguiente esquema:









$B(x)\text{ crece en }(0,2000)\text{ y decrece en }(2000,+\mathrm{\infty })$
$\text{El beneficio m}\acute{\text{a}}\text{ximo se obtiene en }x=2000\text{ y es }B(2000)=50000+40\cdot 2000-\frac{{2000}^2}{100}=90000\text{€}$





$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Existe}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{publicidad}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{obtenidos}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{menores}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{invirtiera}}\mathbf{\text{nada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{publicidad?}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo,}}\mathbf{\text{determ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nalo.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$
Los beneficios para una inversión $x=0$ son $B(0)=50000$.
Averiguamos si la función alcanza ese valor en otro momento.

$\{\begin{array}{l}B(x)=50000+40x-{\left(\frac{x}{10}\right)}^2\\ B(x)=50000\end{array}$$\Rightarrow 40x-{\left(\frac{x}{10}\right)}^2=0\Rightarrow 40x-\frac{x^2}{100}=0\Rightarrow 4000x-x^2=0\Rightarrow x(4000-x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=4000\end{array}$

Con una inversión de $4000,\text{€}$ en publicidad se consiguen unos beneficios de $50000$. Como la función beneficios decrece a partir de $2000,\text{€}$ podemos afirmar que invirtiendo más de $4000,\text{€}$ en publicidad consigues menos beneficios que si no inviertes nada.