Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

PREGUNTA 4. Análisis.
Una pequeña empresa comercializa paraguas a 60 euros la unidad. El coste de producción diario de " x " paraguas viene dado por la función $C(x)=x^2-10x$, estando limitada su capacidad de producción a un máximo de 70 paraguas al día $(0\le x\le 70)$

a) Obtenga las expresiones de las funciones que determinan los ingresos y los beneficios diarios obtenidos por la empresa en función del número de paraguas producidos " x”.
b) Determine el número de paraguas que debe producir diariamente para obtener el máximo beneficio. ¿A cuánto ascienden los ingresos, los costes y los beneficios diarios en este caso? Razone la respuesta.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{expresiones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{funciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{determinan}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ingresos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{diarios}}\mathbf{\text{obtenidos}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{paraguas}}\mathbf{\text{producidos}}\mathbf{\text{"}}\mathbf{\text{x”.}}$

Los ingresos son el número de paraguas por el precio de venta de cada uno.

$I(x)=60x$

El beneficio es la diferencia entre los ingresos y los costes.

$B(x)=I(x)-C(x)=60x-(x^2-10x)=-x^2+70x,0\le x\le 70$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{paraguas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{diariamente}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{beneficio.}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{ascienden}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ingresos,}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{costes}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{diarios}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{caso?}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}$

Derivamos la función beneficio e igualamos a cero.

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x+70\Rightarrow B^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x=35$

El valor obtenido pertenece al intervalo $[0,70]$. Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2<0$

Calculamos las tres magnitudes que pide el enunciado.

$B(35)=-{35}^2+70\cdot 35=-1225+2450=1225$

$I(35)=60\cdot 35=2100$

$C(35)={35}^2-10\cdot 35=1225-350=875$

La empresa debe producir 35 paraguas diarios. En ese caso los ingresos son de 2100 euros, los costes de 875 euros y el beneficio diario máximo asciende a 1225 euros.