Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2024

B.2 [hasta 2,5 puntos]
La función de costes de una empresa (en miles de euros) se puede determinar mediante la expresión:
$f(x)=40-6x+x^2$, para $x\ge 0$
donde $\mathrm{"}x\mathrm{"}$ representa la cantidad producida de un determinado artículo.

a) [0,75 puntos] ¿Disminuye el coste alguna vez?
b) [0,5 puntos] Determina la cantidad producida de este artículo cuando el coste es mínimo y calcula cuál es dicho coste.
c) [0,25 puntos] ¿Cuál sería el coste si no se produjese nada de ese artículo?
d) [0,75 puntos] Si el coste fuera 80.000 €, ¿cuál sería la cantidad producida?
e) [0,25 puntos] Representa gráficamente la función.

La función de costes es una parábola con las ramas hacia arriba, definida solo para $x\ge 0$ porque no tiene sentido producir una cantidad negativa. Se calcula su derivada, que es la herramienta de los dos primeros apartados.

$f(x)=40-6x+x^2,x\ge 0$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-6+2x$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Disminuye}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{alguna}}\mathbf{\text{vez?}}$

El coste disminuye allí donde la derivada es negativa, así que se estudia su signo dentro del dominio.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow -6+2x<0\Rightarrow x<3$

$\begin{array}{ccc}& [0,3)& (3,+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& -& +\\ f(x)& \searrow & \nearrow \end{array}$

Sí: el coste disminuye mientras la producción está por debajo de las tres unidades, es decir, en el intervalo $[0,3)$. A partir de ahí vuelve a crecer.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{producida}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{art}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culo}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{coste.}}$

El mínimo está donde se anula la derivada, y el criterio de la segunda derivada lo confirma.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -6+2x=0\Rightarrow x=3$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo}$

$f(3)=40-6\cdot 3+3^2=40-18+9=31$

El coste es mínimo cuando se producen $3$ unidades del artículo, y ese coste mínimo es de $31$ miles de euros, es decir, $31000$ euros.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{produjese}}\mathbf{\text{nada}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{art}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culo?}}$

Basta evaluar la función en el origen, que es el término independiente de la parábola.

$f(0)=40-0+0=40$

Si no se produjese nada, el coste sería de $40$ miles de euros, es decir, $40000$ euros. Son los costes fijos de la empresa, que existen aunque no haya producción.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{fuera}}\mathbf{\text{80.000}}\mathbf{\text{€,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{producida?}}$

La función está expresada en miles de euros, de modo que $80000$ euros son $80$ unidades de la función. Se plantea la ecuación y se resuelve.

$f(x)=80\Rightarrow 40-6x+x^2=80\Rightarrow x^2-6x-40=0$

$x={\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{36+160}}{2}}={\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{196}}{2}}={\displaystyle \frac{6\pm 14}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-4\\ x=10\end{array}$

Se descarta la solución negativa por no pertenecer al dominio, ya que la cantidad producida no puede ser negativa.

Si el coste fuera de $80000$ euros, la cantidad producida sería de $10$ unidades.

$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Representa}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Con lo calculado en los apartados anteriores la gráfica queda determinada: es una parábola de ramas hacia arriba que arranca en $(0,40)$, baja hasta su vértice $(3,31)$ y después crece, pasando por $(10,80)$.