Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2021

Cuestión 3. (2,5 puntos) El coste de producción de $x$ unidades de un determinado producto viene dado por la función $C(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+35x+25$ y su precio de venta es: $p=50-{\displaystyle \frac{x}{4}}$ euros. Hallar:

a) El número de unidades que debe venderse diariamente para que el beneficio sea máximo.
b) El precio al que deben venderse las unidades obtenidas en el apartado a).
c) El beneficio máximo.

El beneficio es la diferencia entre el ingreso y el coste, y el ingreso es el precio por el número de unidades vendidas.

$I(x)=p\cdot x=(50-{\displaystyle \frac{x}{4}})x=50x-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}$

$B(x)=I(x)-C(x)=50x-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}-({\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+35x+25)$

$B(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+15x-25$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{venderse}}\mathbf{\text{diariamente}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}$

Se anula la derivada para localizar el punto crítico.

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=-x+15=0\Rightarrow x=15$

Se confirma con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-1<0$



Deben venderse $15$ unidades diarias.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{venderse}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{obtenidas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{a).}}$

$p=50-{\displaystyle \frac{15}{4}}=50-\mathrm{3,75}=\mathrm{46,25}$

El precio de venta debe ser de $\mathrm{46,25}$ euros por unidad.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}$

$B(15)=-{\displaystyle \frac{225}{2}}+225-25=-\mathrm{112,5}+200$

$B(15)=\mathrm{87,5}$

El beneficio máximo es de $\mathrm{87,5}$ euros diarios.